Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 7

a) Ta có:
$ S_{ A ^ { ′ } B ^ { ′ } D ^ { ′ } } =\frac { a ^ { 2 } } { 2 };S_{ AMN } =\frac { a ^ { 2 } } { 8 };S_{ ABCD } =a ^ { 2 } ;AA ^ { ′ } =a, $suy ra thể tích khối chóp cụt $ AMN.A ^ { ′ } B ^ { ′ } D ^ { ′ } $ là:
$ V=\frac { 1 } { 3 }\cdot AA ^ { ′ } \cdot \left ( { S_{ AMN }+S_{ A ^ { ′ } B ^ { ′ } D ^ { ′ } }+\sqrt { S_{ AMN }S_{ A ^ { ′ } B ^ { ′ } D ^ { ′ } } } } \right )=\frac { 1 } { 3 }\cdot a\cdot \left ( { \frac { a ^ { 2 } } { 8 }+\frac { a ^ { 2 } } { 2 }+\sqrt { \frac { a ^ { 2 } } { 8 }\cdot\frac { a ^ { 2 } } { 2 } } } \right )=\frac { 7a ^ { 3 } } { 24 } $.
b) Vì $ MN\parallel BD $ nên $ MN\parallel\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) $, do đó: $ d\left ( { MN,A ^ { ′ } B } \right )=d\left ( { MN,\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) } \right )=d\left ( { M,\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) } \right ). $
Vì $ M $ là trung điểm của $ AB $ nên $ d\left ( { M,\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A,\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) } \right ) $.
Đặt $ h=d\left ( { A,\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) } \right ) $ thì $ \frac { 1 } { h ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AA ^ { ′2 } }=\frac { 3 } { a ^ { 2 } } $, suy ra $ h=\frac { a\sqrt { 3 } } { 3 } $.
Vậy $ d\left ( { MN,A ^ { ′ } B } \right )=d\left ( { M,\left ( { A ^ { ′ } BD } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt { 3 } } { 6 } $.