Bài tự luận · Bài 19
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 19
Một sao chổi $A$ chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol $(P)$ nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời là khoảng $112\,\text{km}$.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol $(P)$.
b) Tính khoảng cách giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của $(P)$.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol $(P)$.
b) Tính khoảng cách giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của $(P)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ $O$ trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} =2px(p>0)$.
Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi $A$.
Khi đó khoảng cách giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời là $AF=x+\frac{p}{2}\geq \frac{p}{2}$ (vì $x\geq 0$)
$\Rightarrow$ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}(\text{km})$
$\Rightarrow \frac{p}{2}=112\Rightarrow p=224.$
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} =448x$.
b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là $x=\frac{p}{2}$.
Khoảng cách giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời khi đó là:
$AF=x+\frac{p}{2}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p=224(\text{km}).$
Gọi phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} =2px(p>0)$.
Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi $A$.
Khi đó khoảng cách giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời là $AF=x+\frac{p}{2}\geq \frac{p}{2}$ (vì $x\geq 0$)
$\Rightarrow$ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}(\text{km})$
$\Rightarrow \frac{p}{2}=112\Rightarrow p=224.$
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} =448x$.
b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là $x=\frac{p}{2}$.
Khoảng cách giữa sao chổi $A$ và tâm Mặt Trời khi đó là:
$AF=x+\frac{p}{2}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p=224(\text{km}).$