Bài tự luận · Bài 44
DẠNG 4. Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 44
(KNTT10) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) $d:y-1=0$ và $k:x-y+4=0$;
b) $a:\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=2t \\ \end{array} \right.$ và $b:3x+y+1=0$;
c) $m:\left\{ \begin{array}{l} x=1-t \\ y=2-\sqrt{3}t \\ \end{array} \right.$ và $n:\left\{ \begin{array}{l} x=4-t^{\prime} \\ y=\sqrt{3}t^{\prime} \\ \end{array} \right.$.
a) $d:y-1=0$ và $k:x-y+4=0$;
b) $a:\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=2t \\ \end{array} \right.$ và $b:3x+y+1=0$;
c) $m:\left\{ \begin{array}{l} x=1-t \\ y=2-\sqrt{3}t \\ \end{array} \right.$ và $n:\left\{ \begin{array}{l} x=4-t^{\prime} \\ y=\sqrt{3}t^{\prime} \\ \end{array} \right.$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $k$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { n_{d}}=(0;1)$, $\overset\rightarrow { n_{k}}=(1;-1)$. Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
$\cos \varphi =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { n_{d}},\overset\rightarrow { n_{k}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { n_{d}}\cdot \overset\rightarrow { n_{k}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { n_{d}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { n_{k}} \right| }=\frac{\left| 0\cdot 1+1\cdot (-1) \right| }{1\cdot \sqrt{2} }=\frac{1}{\sqrt{2} }\Rightarrow \varphi =45^{°}$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $\varphi =45^{°}$.
b) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{a}}=(1;2)$, $\overset\rightarrow { n_{b}}=(3;1)$ nên $\overset\rightarrow { u_{b}}=(1;-3)$. Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
$\cos \alpha =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u_{a}},\overset\rightarrow { u_{b}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { u_{a}}\cdot \overset\rightarrow { u_{b}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { u_{a}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { u_{b}} \right| }=\frac{\left| 1\cdot 1+2\cdot (-3) \right| }{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10} }=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là $\alpha =45^{°}$.
c) Gọi $\beta$ là góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{m}}=(1;\sqrt{3})$, $\overset\rightarrow { u_{n}}=(-1;\sqrt{3})$. Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì
$\cos \beta =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u_{m}},\overset\rightarrow { u_{n}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { u_{m}}\cdot \overset\rightarrow { u_{n}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { u_{m}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { u_{n}} \right| }=\frac{\left| 1\cdot (-1)+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right| }{2\cdot 2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \beta =60^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$ là $\beta =60^{°}$.
$\cos \varphi =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { n_{d}},\overset\rightarrow { n_{k}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { n_{d}}\cdot \overset\rightarrow { n_{k}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { n_{d}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { n_{k}} \right| }=\frac{\left| 0\cdot 1+1\cdot (-1) \right| }{1\cdot \sqrt{2} }=\frac{1}{\sqrt{2} }\Rightarrow \varphi =45^{°}$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng là $\varphi =45^{°}$.
b) Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{a}}=(1;2)$, $\overset\rightarrow { n_{b}}=(3;1)$ nên $\overset\rightarrow { u_{b}}=(1;-3)$. Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
$\cos \alpha =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u_{a}},\overset\rightarrow { u_{b}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { u_{a}}\cdot \overset\rightarrow { u_{b}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { u_{a}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { u_{b}} \right| }=\frac{\left| 1\cdot 1+2\cdot (-3) \right| }{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10} }=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ là $\alpha =45^{°}$.
c) Gọi $\beta$ là góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$. Từ giả thiết ta có $\overset\rightarrow { u_{m}}=(1;\sqrt{3})$, $\overset\rightarrow { u_{n}}=(-1;\sqrt{3})$. Do đó theo công thức tính góc giữa hai đường thẳng thì
$\cos \beta =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u_{m}},\overset\rightarrow { u_{n}} \right) } \right |=\frac{\left| \overset\rightarrow { u_{m}}\cdot \overset\rightarrow { u_{n}} \right|}{\left| \overset\rightarrow { u_{m}} \right|\cdot \left| \overset\rightarrow { u_{n}} \right| }=\frac{\left| 1\cdot (-1)+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \right| }{2\cdot 2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \beta =60^{°} .$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$ là $\beta =60^{°}$.