Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $\left( SAB ight)\perp\left( ABCD ight)$. Biết thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{4a^{3}}{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SC$ và $\left( ABCD ight)$. Tính $ an\alpha$.

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và $\left( SAB ight)\perp\left( ABCD ight)$. Biết thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $\frac{4a^{3}}{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $SC$ và $\left( ABCD ight)$. Tính $	an\alpha$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-32. GOC DUONG THANG VS MAT PHANG/F. BAI TAP NANG CAO/image529.png] Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì $\Delta SAB$ cân tại $S$ nên $SH\perp AB$. Vì $\left\{ \begin{array}{l} \left( SAB ight)\perp\left( ABCD ight) \ \left( SAB ight)\cap\left( ABCD ight)=AB \end{array} ight.$ nên suy ra $SH\perp\left( ABCD ight)$. Khi đó ta có: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}$$\Rightarrow SH=\frac{3V_{S.ABCD}}{S_{ABCD}}$$=\frac{3.\frac{4a^{3}}{3}}{\left( 2a ight)^{2}}$$=a$. Lại có $HC$ là cạnh huyền trong tam giác vuông $BHC$ nên $HC=\sqrt{BH^{2}+BC^{2}}=a\sqrt{5}$. Mặt khác, do $SH\perp\left( ABCD ight)$, $\left( H\in\left( ABCD ight) ight)$ nên $HC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( ABCD ight)$. Suy ra $\alpha=\widehat{\left( SC\,,\,\left( ABCD ight) ight)}=\widehat{SCH}$. Vậy, trong tam giác vuông $SHC$, $	an\alpha=	an\widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}$$=\frac{a}{a\sqrt{5}}$$=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 15