Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 16

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Vì $SABC$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $h=\frac{\sqrt{6}}{3}a$.
Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $N$ xuống $\left( ABC \right)$
$\Rightarrow H$ là trung điểm của $OC$
$\Rightarrow MH=\frac{2}{3}MC=\frac{2}{3}.\sqrt{a^{2}-\left( \frac{a}{2} \right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$.
Vì $N$ là trung điểm của $SC$ nên $NH=\frac{1}{2}h=\frac{\sqrt{6}}{6}a$
Góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là $\widehat{NMH}$
Vậy $\tan\widehat{NMH}=\frac{NH}{MH}=\left( \frac{\sqrt{6}}{6}a \right):\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.