(CD11) Trên một mảnh đất hình vuông $ABCD$, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí $A$ chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc $C$. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia $AM$ và $AN$, ở đó các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,CD$ sao cho $BM=\frac{1}{2}BC,DN=\frac{1}{3}DC$
a) Tính $\tan(\widehat{BAM}+\widehat{DAN})$.
b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?
Xem lời giải
Lời giải
a) Trong tam giác vuông $ABM,\tan\widehat{BAM}=\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$.
Trong tam giác vuông $ADN,\tan\widehat{DAN}=\frac{DN}{DA}=\frac{1}{3}$.
Do đó, $\tan(\widehat{BAM}+\widehat{DAN})=\frac{\tan\widehat{BAM}+\tan\widehat{DAN}}{1-\tan\widehat{BAM}\tan\widehat{DAN}}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}=1$
b) Do $\tan(\widehat{BAM}+\widehat{DAN})=1$ nên $\widehat{BAM}+\widehat{DAN}=45^{\circ}$.
Suy ra $\widehat{MAN}=90^{\circ}-(\widehat{BAM}+\widehat{DAN})=45^{\circ}$.
Vậy góc chiếu sáng của đèn pin bằng $45^{\circ}$.
