Bài tự luận · Bài 12
Dạng 1. Sử dụng quy tắc nhân để tính xác suất
Bài tự luận Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập · Bài 12
(KNTT11) Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:
$ A $: "Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau".
$ B $: "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Chứng minh rằng hai biến cố $ A $ và $ B $ không độc lập.
$ A $: "Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau".
$ B $: "Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Chứng minh rằng hai biến cố $ A $ và $ B $ không độc lập.
Xem lời giải
Lời giải
Ta cần chứng minh $ P(AB)\neq P(A)P(B) $.
- Tính $ P(A) $: Ta có $ Ω=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\},n(Ω)=6\cdot 6\cdot 6=216 $.
$ A=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\} $ và $ a,b,c $ là các số nguyên dương phân biệt.
Mỗi bộ $ (a,b,c) $ là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử $ \{1;2;3;4;5;6\} $.
Ta có $ n(A)=A_{ 6 } ^{ 3 }=120 $.
Vậy $ P(A)=\frac { 120 } { 216 } $.
- Tính $ P(B) $:
Xét biến cố đối $ \bar B $: "Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6 ". Mỗi kết quả thuận lợi cho $ \bar B $ là một bộ ba số $ (a,b,c) $ trong đó $ 1\leq a,b,c\leq 5 $.
Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $ \bar B $ là $ 5\cdot 5\cdot 5=125 $.
Vậy $ P( \bar B)=\frac { 125 } { 216 } $. Suy ra $ P(B)=1-P( \bar B)=\frac { 91 } { 216 } $.
- Tính $ P(AB) $:
Mỗi kết quả thuận lợi cho $ AB $ là một bộ ba số $ (a,b,c) $ trong đó $ 1\leq a,b,c\leq 6 $ và $ a,b,c $ là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $ A_{ 5 } ^{ 2 }=20 $ cách chọn hai số còn lại trong 5 số $ \{1;2;3;4;5\} $. Theo quy tắc nhân, ta có $ 3\cdot 20=60 $ kết quả thuận lợi.
Do đó $ P(AB)=\frac { 60 } { 216 }\neq P(A)P(B)=\frac { 120 } { 216 }\cdot \frac { 91 } { 216 } $.
Vậy $ A,B $ không độc lập.
- Tính $ P(A) $: Ta có $ Ω=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\},n(Ω)=6\cdot 6\cdot 6=216 $.
$ A=\{(a,b,c);1\leq a,b,c\leq 6\} $ và $ a,b,c $ là các số nguyên dương phân biệt.
Mỗi bộ $ (a,b,c) $ là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử $ \{1;2;3;4;5;6\} $.
Ta có $ n(A)=A_{ 6 } ^{ 3 }=120 $.
Vậy $ P(A)=\frac { 120 } { 216 } $.
- Tính $ P(B) $:
Xét biến cố đối $ \bar B $: "Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6 ". Mỗi kết quả thuận lợi cho $ \bar B $ là một bộ ba số $ (a,b,c) $ trong đó $ 1\leq a,b,c\leq 5 $.
Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $ \bar B $ là $ 5\cdot 5\cdot 5=125 $.
Vậy $ P( \bar B)=\frac { 125 } { 216 } $. Suy ra $ P(B)=1-P( \bar B)=\frac { 91 } { 216 } $.
- Tính $ P(AB) $:
Mỗi kết quả thuận lợi cho $ AB $ là một bộ ba số $ (a,b,c) $ trong đó $ 1\leq a,b,c\leq 6 $ và $ a,b,c $ là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và $ A_{ 5 } ^{ 2 }=20 $ cách chọn hai số còn lại trong 5 số $ \{1;2;3;4;5\} $. Theo quy tắc nhân, ta có $ 3\cdot 20=60 $ kết quả thuận lợi.
Do đó $ P(AB)=\frac { 60 } { 216 }\neq P(A)P(B)=\frac { 120 } { 216 }\cdot \frac { 91 } { 216 } $.
Vậy $ A,B $ không độc lập.