Bài tự luận · Bài 28
Dạng 4. Vận dụng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 28
(CD11) Cho hình chóp $S.ABCD, (SAC)\perp(ABCD), (SBD)\perp(ABCD)$. Tìm điều kiện cần và đủ của tứ giác $ABCD$ để $(SAC)\perp(SBD)$.
Xem lời giải
Lời giải
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.
Vì $(SAC)\cap(SBD)=SO, (SAC)\perp(ABCD)$, $(SBD)\perp(ABCD)$ nên $SO\perp(ABCD)$.
Mà $OA\subset(ABCD), OB\subset(ABCD)$ nên $SO\perp OA$ và $SO\perp OB$. Suy ra góc $AOB$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $[A,SO,B]$.
Từ đó, $(SAC)\perp(SBD)$ khi và chỉ khi góc nhị diện $[A,SO,B]$ là góc nhị diện vuông hay $\widehat{AOB}=90^{\circ}$, tức là $AC\perp BD$. Vậy $(SAC)\perp(SBD)\Leftrightarrow AC\perp BD$.