Bài tập nâng cao · Bài 9
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. • Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không). • Đặt ẩn phụ.
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 9
Tìm điều kiện của tham số $a, b$ để phương trình $\frac{a}{x-a}-\frac{b}{x-b}=\frac{a^2-b^2}{x^2-(a+b)x+ab} \ (*)$:
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Có nghiệm.
a) Có nghiệm duy nhất.
b) Có nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện $x \neq a$, $x \neq b$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
$\frac{a(x-b)-b(x-a)}{(x-a)(x-b)}=\frac{a^2-b^2}{x^2-(a+b)x+ab} \Leftrightarrow (a-b)x=a^2-b^2 \ (**)$.
a) Phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $(**)$ có nghiệm duy nhất khác $a$ và $b$.
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a-b \neq 0 \\ \frac{a^2-b^2}{a-b} \neq a \\ \frac{a^2-b^2}{a-b} \neq b\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \neq b \\ a+b \neq a \\ a+b \neq b\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \neq b \\ a \neq 0 \\ b \neq 0\end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi $a \neq b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$.
b) Phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(**)$ có nghiệm khác $a$ và $b$.
Với $a=b$ thì phương trình $(**)$ trở thành $0x=0$: phương trình $(**)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó phương trình $(*)$ có nghiệm.
Với $a \neq b$ thì phương trình $(**)$ tương đương với $x=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$.
Suy ra phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi $a+b \neq a$ và $a+b \neq b$, tức là $a \neq 0$ và $b \neq 0$.
Vậy phương trình $(*)$ có nghiệm khi $a=b$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a \neq b \\ a \neq 0 \\ b \neq 0\end{array}\right.$.
Với điều kiện trên, phương trình tương đương với
$\frac{a(x-b)-b(x-a)}{(x-a)(x-b)}=\frac{a^2-b^2}{x^2-(a+b)x+ab} \Leftrightarrow (a-b)x=a^2-b^2 \ (**)$.
a) Phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $(**)$ có nghiệm duy nhất khác $a$ và $b$.
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a-b \neq 0 \\ \frac{a^2-b^2}{a-b} \neq a \\ \frac{a^2-b^2}{a-b} \neq b\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \neq b \\ a+b \neq a \\ a+b \neq b\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a \neq b \\ a \neq 0 \\ b \neq 0\end{array}\right.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi $a \neq b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$.
b) Phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(**)$ có nghiệm khác $a$ và $b$.
Với $a=b$ thì phương trình $(**)$ trở thành $0x=0$: phương trình $(**)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó phương trình $(*)$ có nghiệm.
Với $a \neq b$ thì phương trình $(**)$ tương đương với $x=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$.
Suy ra phương trình $(*)$ có nghiệm khi và chỉ khi $a+b \neq a$ và $a+b \neq b$, tức là $a \neq 0$ và $b \neq 0$.
Vậy phương trình $(*)$ có nghiệm khi $a=b$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}a \neq b \\ a \neq 0 \\ b \neq 0\end{array}\right.$.