Bài tập nâng cao · Bài 8
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. • Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không). • Đặt ẩn phụ.
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 8
Giải và biện luận các phương trình sau:
a) $\frac{x^2+mx+2}{x^2-1}=1$.
b) $\frac{|3x+mx+2|}{|x+1|}=m$.
a) $\frac{x^2+mx+2}{x^2-1}=1$.
b) $\frac{|3x+mx+2|}{|x+1|}=m$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện $x^2-1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm1$.
Với điều kiện trên phương trình tương đương với $x^2+mx+2=x^2-1 \Leftrightarrow mx=-3$.
Với $m=0$ thì phương trình trở thành $0x=-3$ vô nghiệm.
Với $m \neq 0$ thì phương trình tương đương $x=-\frac{3}{m}$.
Đối chiếu điều kiện xét $-\frac{3}{m} \neq \pm1 \Leftrightarrow m \neq \pm3$.
Kết luận:
Với $m \in \{-3; 0; 3\}$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $m \notin \{-3; 0; 3\}$ thì phương trình có nghiệm $x=-\frac{3}{m}$.
b) Điều kiện: $x \neq -1$.
Trường hợp 1: nếu $m<0$ ta có: $VT \geq 0>VP$ suy ra phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: nếu $m \geq 0$ phương trình tương đương với
$|3x+mx+2|=m|x+1| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}3x+mx+2=m(x+1) \\ 3x+mx+2=-m(x+1)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{m-2}{3} \\ (2m+3)x=-m-2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{m-2}{3} \\ x=\frac{-m-2}{2m+3}\end{array}\right.$.
Với $x=\frac{m-2}{3}$ ta xét $\frac{m-2}{3} \neq -1 \Leftrightarrow m \neq -1$, luôn đúng với mọi $m \geq 0$.
Với $x=\frac{-m-2}{2m+3}$ ta xét $\frac{-m-2}{2m+3} \neq -1 \Leftrightarrow m \neq -1$, luôn đúng với mọi $m \geq 0$.
Hai nghiệm trên trùng nhau khi $m=0$.
Kết luận:
Với $m=0$ phương trình có một nghiệm $x=-\frac{2}{3}$.
Với $m>0$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x=\frac{m-2}{3}$, $x=\frac{-m-2}{2m+3}$.
Với $m<0$ phương trình vô nghiệm.
Với điều kiện trên phương trình tương đương với $x^2+mx+2=x^2-1 \Leftrightarrow mx=-3$.
Với $m=0$ thì phương trình trở thành $0x=-3$ vô nghiệm.
Với $m \neq 0$ thì phương trình tương đương $x=-\frac{3}{m}$.
Đối chiếu điều kiện xét $-\frac{3}{m} \neq \pm1 \Leftrightarrow m \neq \pm3$.
Kết luận:
Với $m \in \{-3; 0; 3\}$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $m \notin \{-3; 0; 3\}$ thì phương trình có nghiệm $x=-\frac{3}{m}$.
b) Điều kiện: $x \neq -1$.
Trường hợp 1: nếu $m<0$ ta có: $VT \geq 0>VP$ suy ra phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2: nếu $m \geq 0$ phương trình tương đương với
$|3x+mx+2|=m|x+1| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}3x+mx+2=m(x+1) \\ 3x+mx+2=-m(x+1)\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{m-2}{3} \\ (2m+3)x=-m-2\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{m-2}{3} \\ x=\frac{-m-2}{2m+3}\end{array}\right.$.
Với $x=\frac{m-2}{3}$ ta xét $\frac{m-2}{3} \neq -1 \Leftrightarrow m \neq -1$, luôn đúng với mọi $m \geq 0$.
Với $x=\frac{-m-2}{2m+3}$ ta xét $\frac{-m-2}{2m+3} \neq -1 \Leftrightarrow m \neq -1$, luôn đúng với mọi $m \geq 0$.
Hai nghiệm trên trùng nhau khi $m=0$.
Kết luận:
Với $m=0$ phương trình có một nghiệm $x=-\frac{2}{3}$.
Với $m>0$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x=\frac{m-2}{3}$, $x=\frac{-m-2}{2m+3}$.
Với $m<0$ phương trình vô nghiệm.