Bài tập nâng cao · Bài 7
DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. • Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không). • Đặt ẩn phụ.
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 7
Giải các phương trình sau:
a) $\frac{1}{x^2+5x+4}+\frac{1}{x^2+11x+28}+\frac{1}{x^2+17x+70}=\frac{3}{4x-2}$.
b) $1+\frac{4}{(2-x)^2}=\frac{5}{x^2}$.
a) $\frac{1}{x^2+5x+4}+\frac{1}{x^2+11x+28}+\frac{1}{x^2+17x+70}=\frac{3}{4x-2}$.
b) $1+\frac{4}{(2-x)^2}=\frac{5}{x^2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Điều kiện $x \notin \left\{-10; -7; -4; -1; \frac{1}{2}\right\}$.
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
$\frac{1}{x^2+5x+4}+\frac{1}{x^2+11x+28}+\frac{1}{x^2+17x+70}=\frac{3}{4x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+10}\right)=\frac{3}{4x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+10}\right)=\frac{3}{4x-2} \Leftrightarrow x^2+7x+12=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-3 \\ x=-4\end{array}\right.$.
• Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=-3$.
b) Điều kiện $x \neq 0$, $x \neq 2$.
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
$x^2+\frac{4x^2}{(2-x)^2}=5 \Leftrightarrow x^2-\frac{4x^2}{2-x}+\frac{4x^2}{(2-x)^2}+\frac{4x^2}{2-x}-5=0$.
$\Leftrightarrow \left(x-\frac{2x}{2-x}\right)^2+\frac{4x^2}{2-x}-5=0$.
$\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{2-x}\right)^2+\frac{4x^2}{2-x}-5=0$.
Đặt $t=\frac{x^2}{2-x}$, phương trình trở thành $t^2+4t-5=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1 \\ t=-5\end{array}\right.$.
Với $t=1$ ta có: $\frac{x^2}{2-x}=1 \Leftrightarrow x^2+x-2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-2\end{array}\right.$.
Với $t=-5$ ta có: $\frac{x^2}{2-x}=-5 \Leftrightarrow x^2-5x+10=0$ vô nghiệm.
• Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có hai nghiệm $x=-2$, $x=1$.
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
$\frac{1}{x^2+5x+4}+\frac{1}{x^2+11x+28}+\frac{1}{x^2+17x+70}=\frac{3}{4x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+10}\right)=\frac{3}{4x-2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+10}\right)=\frac{3}{4x-2} \Leftrightarrow x^2+7x+12=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-3 \\ x=-4\end{array}\right.$.
• Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=-3$.
b) Điều kiện $x \neq 0$, $x \neq 2$.
Với điều kiện trên phương trình tương đương với
$x^2+\frac{4x^2}{(2-x)^2}=5 \Leftrightarrow x^2-\frac{4x^2}{2-x}+\frac{4x^2}{(2-x)^2}+\frac{4x^2}{2-x}-5=0$.
$\Leftrightarrow \left(x-\frac{2x}{2-x}\right)^2+\frac{4x^2}{2-x}-5=0$.
$\Leftrightarrow \left(\frac{x^2}{2-x}\right)^2+\frac{4x^2}{2-x}-5=0$.
Đặt $t=\frac{x^2}{2-x}$, phương trình trở thành $t^2+4t-5=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=1 \\ t=-5\end{array}\right.$.
Với $t=1$ ta có: $\frac{x^2}{2-x}=1 \Leftrightarrow x^2+x-2=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-2\end{array}\right.$.
Với $t=-5$ ta có: $\frac{x^2}{2-x}=-5 \Leftrightarrow x^2-5x+10=0$ vô nghiệm.
• Đối chiếu với điều kiện thì phương trình có hai nghiệm $x=-2$, $x=1$.