(THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc 2025) Hộp 1 chứa 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Hộp 2 chứa 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). An lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2, sau đó Bình lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp 2. Tính xác suất để 3 viên bi An chuyển từ hộp 1 sang có đúng 2 màu, biết 3 viên bi Bình lấy ra có đủ 3 màu (làm tròn kết quả tới hàng phần trăm).

Gọi A là biến cố: 3 viên bi An chuyển từ hộp 1 sang có đúng 2 màu; B là biến cố: 3 viên bi Bình lấy ra có đủ 3 màu, khi đó ta cần tính $ P\left ( { A\|B } \right )=\frac { P\left ( { AB } \right ) } { P\left ( { B } \right ) } $. Gọi x, y, z là số bi màu đỏ, xanh, vàng lần lượt mà An lấy, thì xác suất An lấy số bi tương ứng là $ \frac { C_{ 3 } ^{ x }.C_{ 4 } ^{ y }.C_{ 5 } ^{ z } } { C_{ 12 } ^{ 3 } } $. Gọi m, n, p lần lượt là số bi đỏ, xanh, vàng ở hộp 2 sau khi An chuyển, thì xác suất Bình lấy được 3 bi đủ 3 màu là $ \frac { m.n.p } { C_{ 18 } ^{ 3 } } $ TH Số bi An lấy Xác suất An lấy số bi tương ứng Số bi ở hộp 2 sau khi An lấy Xác suất Bình lấy được đủ 3 màu Đỏ (3) Xanh (4) Vàng (5) Đỏ (4) Xanh (5) Vàng (6) 1 1 1 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 5 } ^{ 1 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 3 } { 11 } $ 5 6 7 $ \frac { 5.6.7 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 35 } { 136 } $ 0 1 2 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 0 }.C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 5 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 2 } { 11 } $ 4 6 8 $ \frac { 4.6.8 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 4 } { 17 } $ 0 2 1 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 0 }.C_{ 4 } ^{ 2 }.C_{ 5 } ^{ 1 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 3 } { 22 } $ 4 7 7 $ \frac { 4.7.7 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 49 } { 204 } $ 1 0 2 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 0 }.C_{ 5 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 3 } { 22 } $ 5 5 8 $ \frac { 5.5.8 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 25 } { 102 } $ 1 2 0 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 2 }.C_{ 5 } ^{ 0 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 9 } { 110 } $ 5 7 6 $ \frac { 5.6.7 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 35 } { 136 } $ 2 0 1 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 2 }.C_{ 4 } ^{ 0 }.C_{ 5 } ^{ 1 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 3 } { 44 } $ 6 5 7 $ \frac { 5.6.7 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 35 } { 136 } $ 2 1 0 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 2 }.C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 5 } ^{ 0 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 3 } { 55 } $ 6 6 6 $ \frac { 6.6.6 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 9 } { 34 } $ 3 0 0 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 3 }.C_{ 4 } ^{ 0 }.C_{ 5 } ^{ 0 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 1 } { 220 } $ 7 5 6 $ \frac { 5.6.7 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 35 } { 136 } $ 0 3 0 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 0 }.C_{ 4 } ^{ 3 }.C_{ 5 } ^{ 0 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 1 } { 55 } $ 4 8 6 $ \frac { 4.6.8 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 4 } { 17 } $ 0 0 3 $ \frac { C_{ 3 } ^{ 0 }.C_{ 4 } ^{ 0 }.C_{ 5 } ^{ 3 } } { C_{ 12 } ^{ 3 } }=\frac { 1 } { 22 } $ 4 5 9 $ \frac { 4.5.9 } { C_{ 18 } ^{ 3 } }=\frac { 15 } { 68 } $ Xác suất cần tính bằng $ P\left ( { A\|B } \right )=\frac { P\left ( { AB } \right ) } { P\left ( { B } \right ) } $, trong đó $ P(AB) $ chỉ lấy tổng theo các trường hợp An lấy đúng 2 màu (loại trừ trường hợp $ 1,1,1 $ - đủ 3 màu - và các trường hợp $ 3,0,0 $; $ 0,3,0 $; $ 0,0,3 $ - chỉ 1 màu): $ P\left ( { AB } \right )=\frac { 2 } { 11 }.\frac { 4 } { 17 }+\frac { 3 } { 22 }.\frac { 49 } { 204 }+\frac { 3 } { 22 }.\frac { 25 } { 102 }+\frac { 9 } { 110 }.\frac { 35 } { 136 }+\frac { 3 } { 44 }.\frac { 35 } { 136 }+\frac { 3 } { 55 }.\frac { 9 } { 34 }=\frac { 4847 } { 29920 } $ $ P\left ( { B } \right )=\frac { 3 } { 11 }.\frac { 35 } { 136 }+\frac { 2 } { 11 }.\frac { 4 } { 17 }+\frac { 3 } { 22 }.\frac { 49 } { 204 }+\frac { 3 } { 22 }.\frac { 25 } { 102 }+\frac { 9 } { 110 }.\frac { 35 } { 136 }+\frac { 3 } { 44 }.\frac { 35 } { 136 }+\frac { 3 } { 55 }.\frac { 9 } { 34 }+\frac { 1 } { 220 }.\frac { 35 } { 136 }+\frac { 1 } { 55 }.\frac { 4 } { 17 }+\frac { 1 } { 22 }.\frac { 15 } { 68 }=\frac { 741 } { 2992 } $ Vậy $ P\left ( { A\|B } \right )=\frac { 4847/29920 } { 741/2992 }=\frac { 4847 } { 7410 }≈0,65 $.