Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 9
Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là $16\,\text{m}$, chiều cao của mái vòm là $3\,\text{m}$.
a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục toạ độ $Oxy$ (đơn vị trên hai trục là mét).
b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$.
Nhìn hình vẽ ta thấy:
- Độ dài trục lớn của elip bằng $16\Rightarrow 2a=16\Rightarrow a=8$ (m).
- Độ dài bán trục bé của elip bằng $3\Rightarrow b=3$ (m).
Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^{2}}{8^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1$ hay $\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{9}=1$.
b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng tại tiêu điểm còn lại.
Có $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{8^{2}-3^{2}}=\sqrt{55}$.
Vậy cần đặt bức tượng tại vị trí có toạ độ $(\sqrt{55};0)$.
