Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 12

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho tiêu điểm $F_{2}$ của (H) trùng với tâm Mặt Trời, trục Ox đi qua đỉnh và tiêu điểm này của (H), đơn vị trên các trục là km.
Gọi phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^{2}}{a^{2} }-\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>0,b>0)$.
Gọi toạ độ của vật thể là $M(x;y)$.
Áp dụng công thức bán kính qua tiêu, ta có: khoảng cách giữa vật thể và tâm Mặt Trời là $MF_{2}=\left|a-\frac{c}{a}x\right|=|a-ex|=ex-a\geq ea-a$ (vì vật thể nằm ở nhánh bên phải trục $Ox$ nên $x\geq a)$.
Như vậy khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là ea - a
$\Rightarrow ea-a=2\cdot 10^{8} \Rightarrow 1,2a-a=2\cdot 10^{8} \Rightarrow a=10^{9} \Rightarrow c=ea=1,2\cdot 10^{9} \\ \Rightarrow b^{2} =c^{2} -a^{2} =\left( 1,2\cdot 10^{9} \right)^{2} -\left( 10^{9} \right)^{2} =0,44\cdot 10^{18}$
Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^{2}}{10^{18} }-\frac{y^{2}}{0,44\cdot 10^{18} }=1$.
b) Bán kính qua tiêu của vị trí $M(x;y)$ của vật thể trong mặt phẳng toạ độ là:
$MF_{2}=\left| a-\frac{c}{a}x \right|=\left|a-ex\right| =\left| 10^{9} -1,2x \right|(\text{km})$