Bài tự luận · Bài 60
DẠNG 6. Ứng dụng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 60
(CD10) Có hai tàu điện ngầm $A$ và $B$ chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0$), vị trí của tàu $A$ có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{ \begin{array}{l} x=7+36t \\ y=-8+8t \\ \end{array} \right.$, vị trí của tàu $B$ có toạ độ là $(9+8t;5-36t)$.
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
Xem lời giải
Lời giải
a) Tàu $A$ di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ $u_{1}=(36;8);$ tàu $B$ di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ $u_{2}=(8;-36)$. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu.
Ta có: $\cos\varphi=\left|\cos(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\dfrac{\left|36\cdot8+8\cdot(-36)\right|}{\sqrt{36^2+8^2}\cdot\sqrt{8^2+(-36)^2}}=0$.
b) Vị trí của tàu $A$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) là điểm $M$ có toạ độ là $(7+36t;-8+8t)$. Vị trí của tàu $B$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) là điểm $N$ có toạ độ là $(9+8t;5-36t)$. Do đó $\overset\rightarrow { MN }=(2-28t;13-44t)$. Suy ra
$\begin{array}{ll} MN & =\sqrt{(2-28t)^{2} +(13-44t)^{2} }=\sqrt{2720\left( t-\frac{157}{680} \right)^{2} +\frac{4761}{170} }\geq \sqrt{\frac{4761}{170} } \\ & \approx 5,29 \\ \end{array}$ km.
$MN$ nhỏ nhất bằng xấp xỉ 5,29 khi $t=\frac{157}{680}$ (giờ).
Như vậy, sau $\frac{157}{680}$ giờ di chuyển thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng $5,29$ km.
Ta có: $\cos\varphi=\left|\cos(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}\cdot\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|\cdot\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\dfrac{\left|36\cdot8+8\cdot(-36)\right|}{\sqrt{36^2+8^2}\cdot\sqrt{8^2+(-36)^2}}=0$.
b) Vị trí của tàu $A$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) là điểm $M$ có toạ độ là $(7+36t;-8+8t)$. Vị trí của tàu $B$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) là điểm $N$ có toạ độ là $(9+8t;5-36t)$. Do đó $\overset\rightarrow { MN }=(2-28t;13-44t)$. Suy ra
$\begin{array}{ll} MN & =\sqrt{(2-28t)^{2} +(13-44t)^{2} }=\sqrt{2720\left( t-\frac{157}{680} \right)^{2} +\frac{4761}{170} }\geq \sqrt{\frac{4761}{170} } \\ & \approx 5,29 \\ \end{array}$ km.
$MN$ nhỏ nhất bằng xấp xỉ 5,29 khi $t=\frac{157}{680}$ (giờ).
Như vậy, sau $\frac{157}{680}$ giờ di chuyển thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng $5,29$ km.