Bài tự luận · Bài 59
DẠNG 6. Ứng dụng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng · Bài 59
(CD10) Có hai con tàu $A$ và $B$ cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$, vị trí của tàu $A$ có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{ \begin{array}{l} x=3-35t \\ y=-4+25t \\ \end{array} \right.$, vị trí của tàu $B$ có toạ độ là $N(4-30t;3-40t)$.
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
c) Nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu $A$ và $B$.
b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?
c) Nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
a) Tàu $A$ di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ $u_{1}=(-35;25)$; tàu $B$ di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ $u_{2}=(-30;-40)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu.
Ta có: $\cos \alpha =\left | { \cos \left( u_{1},u_{2}\right) } \right |=\frac{\left| u_{1}\cdot u_{2}\right|}{\left| u_{1}\right|\cdot \left| u_{2}\right| }=\frac{\left| (-35)\cdot (-30)+25\cdot (-40) \right| }{\sqrt{(-35)^{2} +25^{2} }\cdot \sqrt{(-30)^{2} +(-40)^{2} } }=\frac{1}{5\sqrt{74} }.$
b) Vị trí của tàu $A$ tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$ là điểm $M$ có toạ độ là $(3-35t;-4+25t)$
Vị trí của tàu $B$ tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$ là điểm $N$ có toạ độ là $(4-30t;3-40t)$.
Do đó, $\overset\rightarrow { MN }=(1+5t;7-65t)$. Suy ra
$\begin{array}{ll} MN & =\sqrt{(1+5t)^{2} +(7-65t)^{2} }=\sqrt{4250t^{2} -900t+50 } \\ & =\sqrt{4250\left( t-\frac{9}{85} \right)^{2} +\frac{40}{17} }\geq \sqrt{\frac{40}{17} }\approx 1,53 \\ \end{array}$ km.
MN nhỏ nhất xấp xỉ bằng $1,53$ km khi $t=\frac{9}{85}$ giờ.
Như vậy, sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.
c) Cách 1: Vị trí ban đầu của tàu $A$ tại $M_{0}$ ứng với $t=0$, khi đó $M_{0}(3;-4)$.
Tàu $B$ di chuyển theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $n=(40;-30)$ và đi qua điểm $K(4;3)$. Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $40(x-4)-30(y-3)=0$ hay $4x-3y-7=0$.
Ta có: $d\left( M_{0},\Delta \right)=\frac{\left| 4\cdot 3-3\cdot (-4)-7 \right| }{\sqrt{4^{2} +(-3)^{2} } }=\frac{17}{5}=3,4$ km.
Kiểm tra thấy khoảng cách này bằng khoảng cách giữa tàu $A$ tại $M_{0}$ và tàu $B$ tại vị trí sau khi xuất phát $t=\frac{31}{250}$ (giờ).
Vậy nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $3,4$ km.
Cách 2: Vị trí ban đầu của tàu $A$ tại $M_{0}$ ứng với $t=0$, khi đó $M_{0}(3;-4)$.
Vị trí của tàu $B$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$ có toạ độ là $N(4-30t;3-40t)$.
Do đó $\overset\rightarrow { M_{0}N }=(1-30t;7-40t)$.
Suy ra $M_{0}N=\sqrt{(1-30t)^{2} +(7-40t)^{2} }=\sqrt{2500t^{2} -620t+50 }$.
Đặt $f(t)=2500t^{2} -620t+50$. Ta có $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-\frac{b}{2a}=\frac{31}{250}$, khi đó $f\left( \frac{31}{250} \right)=\frac{289}{25}$.
Do $t=\frac{31}{250}>0$ và $f\left( \frac{31}{250} \right)=\frac{289}{25}>0$ nên suy ra $M_{0}N$ nhỏ nhất bằng $\frac{17}{5}=3,4$ km khi $t=\frac{31}{250}$ (giờ).
Vậy, nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $3,4$ km.
Ta có: $\cos \alpha =\left | { \cos \left( u_{1},u_{2}\right) } \right |=\frac{\left| u_{1}\cdot u_{2}\right|}{\left| u_{1}\right|\cdot \left| u_{2}\right| }=\frac{\left| (-35)\cdot (-30)+25\cdot (-40) \right| }{\sqrt{(-35)^{2} +25^{2} }\cdot \sqrt{(-30)^{2} +(-40)^{2} } }=\frac{1}{5\sqrt{74} }.$
b) Vị trí của tàu $A$ tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$ là điểm $M$ có toạ độ là $(3-35t;-4+25t)$
Vị trí của tàu $B$ tại thời điểm sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$ là điểm $N$ có toạ độ là $(4-30t;3-40t)$.
Do đó, $\overset\rightarrow { MN }=(1+5t;7-65t)$. Suy ra
$\begin{array}{ll} MN & =\sqrt{(1+5t)^{2} +(7-65t)^{2} }=\sqrt{4250t^{2} -900t+50 } \\ & =\sqrt{4250\left( t-\frac{9}{85} \right)^{2} +\frac{40}{17} }\geq \sqrt{\frac{40}{17} }\approx 1,53 \\ \end{array}$ km.
MN nhỏ nhất xấp xỉ bằng $1,53$ km khi $t=\frac{9}{85}$ giờ.
Như vậy, sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.
c) Cách 1: Vị trí ban đầu của tàu $A$ tại $M_{0}$ ứng với $t=0$, khi đó $M_{0}(3;-4)$.
Tàu $B$ di chuyển theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $n=(40;-30)$ và đi qua điểm $K(4;3)$. Phương trình tổng quát của $\Delta$ là: $40(x-4)-30(y-3)=0$ hay $4x-3y-7=0$.
Ta có: $d\left( M_{0},\Delta \right)=\frac{\left| 4\cdot 3-3\cdot (-4)-7 \right| }{\sqrt{4^{2} +(-3)^{2} } }=\frac{17}{5}=3,4$ km.
Kiểm tra thấy khoảng cách này bằng khoảng cách giữa tàu $A$ tại $M_{0}$ và tàu $B$ tại vị trí sau khi xuất phát $t=\frac{31}{250}$ (giờ).
Vậy nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $3,4$ km.
Cách 2: Vị trí ban đầu của tàu $A$ tại $M_{0}$ ứng với $t=0$, khi đó $M_{0}(3;-4)$.
Vị trí của tàu $B$ sau khi xuất phát $t$ (giờ) $(t\geq 0)$ có toạ độ là $N(4-30t;3-40t)$.
Do đó $\overset\rightarrow { M_{0}N }=(1-30t;7-40t)$.
Suy ra $M_{0}N=\sqrt{(1-30t)^{2} +(7-40t)^{2} }=\sqrt{2500t^{2} -620t+50 }$.
Đặt $f(t)=2500t^{2} -620t+50$. Ta có $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=-\frac{b}{2a}=\frac{31}{250}$, khi đó $f\left( \frac{31}{250} \right)=\frac{289}{25}$.
Do $t=\frac{31}{250}>0$ và $f\left( \frac{31}{250} \right)=\frac{289}{25}>0$ nên suy ra $M_{0}N$ nhỏ nhất bằng $\frac{17}{5}=3,4$ km khi $t=\frac{31}{250}$ (giờ).
Vậy, nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng $3,4$ km.