Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 2
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số sau xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$:
$y=\frac{3x+5}{\log_{2018}\left( x^{2}-2x+m^{2}-4m+5 \right)}.$
$y=\frac{3x+5}{\log_{2018}\left( x^{2}-2x+m^{2}-4m+5 \right)}.$
Xem lời giải
Lời giải
ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2x+m^{2}-4m+5>0 \\ \log_{2018}\left( x^{2}-2x+m^{2}-4m+5 \right)\neq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2x+m^{2}-4m+5>0 \\ x^{2}-2x+m^{2}-4m+5\neq 1 \end{array} \right.$.
Suy ra điều kiện để hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ là:
$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2x+m^{2}-4m+5>0 \\ x^{2}-2x+m^{2}-4m+4\neq 0 \end{array} \right.,\ \forall x\in \mathbb{R}.$
Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta_{1}^{\prime}=1-(m^{2}-4m+5)<0 \\ \Delta_{2}^{\prime}=1-(m^{2}-4m+4)<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m^{2}+4m-4<0 \\ -m^{2}+4m-3<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow -m^{2}+4m-3<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<1 \\ m>3 \end{array} \right.$.
Vậy $m\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.
Suy ra điều kiện để hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ là:
$\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2x+m^{2}-4m+5>0 \\ x^{2}-2x+m^{2}-4m+4\neq 0 \end{array} \right.,\ \forall x\in \mathbb{R}.$
Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{array}{l} \Delta_{1}^{\prime}=1-(m^{2}-4m+5)<0 \\ \Delta_{2}^{\prime}=1-(m^{2}-4m+4)<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m^{2}+4m-4<0 \\ -m^{2}+4m-3<0 \end{array} \right.\Leftrightarrow -m^{2}+4m-3<0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<1 \\ m>3 \end{array} \right.$.
Vậy $m\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.