Trong hình vẽ bên, các đường cong $\left( C_{1} \right):y=a^{x}$, $\left( C_{2} \right):y=b^{x},\left( C_{3} \right):y=c^{x}$ và các đường thẳng $y=4;y=8$ tạo thành hình vuông $MNPQ$ có cạnh bằng 4. Biết rằng $abc=2^{\frac{x}{y}}$ với $x;y\in \mathbb{Z}^{+}$ và $\frac{x}{y}$ tối giản. Tính $x+y$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Giả sử hoành độ điểm $M$ là $m$, suy ra $M(m;4);N(m;8);P(m+4;8);Q(m+4;4)$. Từ giả thiết ta có $M,P$ thuộc đường cong $y=b^{x}$ nên $\left\{ \begin{array}{l} b^{m}=4 \ b^{m+4}=8 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b^{m}=4 \ b^{4}=2 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m=8 \ b=2^{\frac{1}{4}} \end{array} ight.$. $N,Q$ lần lượt thuộc các đường cong $y=a^{x};y=c^{x}$ nên $\left\{ \begin{array}{l} a^{8}=8 \ c^{12}=4 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^{8}=2^{3} \ c^{12}=2^{2} \end{array} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=2^{\frac{3}{8}} \ c=2^{\frac{1}{6}} \end{array} ight.$. Khi đó $abc=2^{\frac{3}{8}}\cdot 2^{\frac{1}{4}}\cdot 2^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{3}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=2^{\frac{19}{24}}$. Vậy $x=19;y=24\Rightarrow x+y=43$.

Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 3