Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 4
Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn:
$(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}=8$ và $2^{a}=3^{b}=6^{-c}$. Tính giá trị của $a+b+c$.
$(a-2)^{2}+(b-2)^{2}+(c-2)^{2}=8$ và $2^{a}=3^{b}=6^{-c}$. Tính giá trị của $a+b+c$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $a=-c\log_{2}6$ và $b=-c\log_{3}6$. Suy ra:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0.$
Suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}$ nên $(a+b+c)^{2}-4(a+b+c)+4=0$.
Vậy $a+b+c=2$.
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0.$
Suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}$ nên $(a+b+c)^{2}-4(a+b+c)+4=0$.
Vậy $a+b+c=2$.