Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 5
Cho $4^{x}+4^{-x}=7$. Biết rằng $P=\frac{5-2^{x}-2^{-x}}{8+4\cdot 2^{x}+4\cdot 2^{-x}}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $a\cdot b$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$4^{x}+4^{-x}=7\Leftrightarrow \left( 2^{x} \right)^{2}+2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}+\left( 2^{-x} \right)^{2}-2=7\Leftrightarrow \left( 2^{x}+2^{-x} \right)^{2}=9\Leftrightarrow 2^{x}+2^{-x}=3.$
Do đó $P=\frac{5-2^{x}-2^{-x}}{8+4\cdot 2^{x}+4\cdot 2^{-x}}=\frac{5-\left( 2^{x}+2^{-x} \right)}{8+4\left( 2^{x}+2^{-x} \right)}=\frac{5-3}{8+4\cdot 3}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$.
Suy ra $a=1,b=10$.
Vậy $a\cdot b=10$.
$4^{x}+4^{-x}=7\Leftrightarrow \left( 2^{x} \right)^{2}+2\cdot 2^{x}\cdot 2^{-x}+\left( 2^{-x} \right)^{2}-2=7\Leftrightarrow \left( 2^{x}+2^{-x} \right)^{2}=9\Leftrightarrow 2^{x}+2^{-x}=3.$
Do đó $P=\frac{5-2^{x}-2^{-x}}{8+4\cdot 2^{x}+4\cdot 2^{-x}}=\frac{5-\left( 2^{x}+2^{-x} \right)}{8+4\left( 2^{x}+2^{-x} \right)}=\frac{5-3}{8+4\cdot 3}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$.
Suy ra $a=1,b=10$.
Vậy $a\cdot b=10$.