Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;-1;-1)$, $B(0;1;-2)$ và mặt phẳng $(P):2x+y-2z-2=0$. Điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $\widehat{AMB}$ lớn nhất. Tính $\cos\widehat{AMB}$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với $(P)$, đồng thời đặt $d=(P)\cap(Q)$. Với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $d$, ta có $\widehat{AMB}\leq\widehat{AHB}$, nên bài toán được xét trong mặt phẳng $(Q)$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-1)\perp\overrightarrow n_P=(2;1;-2)$ và $A\notin(P)$, do đó $AB\parallel(P)$, suy ra $AB\parallel d$. Trong $(Q)$, xét đường tròn qua $A,B$ và tiếp xúc với $d$ tại $M_0$; $M_0$ là giao điểm của đường trung trực $AB$ với $d$. Khi đó góc nhìn đoạn $AB$ lớn nhất tại $M_0$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Ta có $AB=3$, $IA=\dfrac32$ và $IM_0=d(A,(P))=1$. Vì thế
$M_0A=M_0B=\sqrt{IA^2+IM_0^2}=\sqrt{1+\dfrac94}=\dfrac{\sqrt{13}}2$.
Theo định lí cosin,
$\cos\widehat{AM_0B}=\dfrac{M_0A^2+M_0B^2-AB^2}{2M_0A\cdot M_0B}=\dfrac{13/4+13/4-9}{2\cdot13/4}=-\dfrac5{13}$.
Vậy $\cos\widehat{AMB}=-\dfrac5{13}$.
