Bài tập nâng cao · Bài 62
Dạng 2. Xác suất liên quan người, vật
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 62
Mỗi bạn An và Bình chọn ngẫu nhiên ba số trong tập $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$. Xác suất để trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $n(\Omega)=\left(C_{10}^3\right)^2$.
Gọi $A$ là biến cố: “Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau”.
TH1: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra không có số nào giống nhau:
+) An chọn ngẫu nhiên 3 số: Có $C_{10}^3$ cách.
+) Bình chọn ngẫu nhiên 3 số trong 7 số còn lại: Có $C_7^3$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $C_{10}^3\cdot C_7^3$ cách.
TH2: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có đúng một số giống nhau:
+) Cả 2 bạn cùng chọn ra một số giống nhau: Có 10 cách.
+) Chọn 2 số còn lại sao cho không có số nào giống nhau: Có $C_9^2\cdot C_7^2$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $10\cdot C_9^2\cdot C_7^2$ cách.
Vậy ta có: $n(A)=C_{10}^3\cdot C_7^3+10\cdot C_9^2\cdot C_7^2$. Từ đó suy ra: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{49}{60}$.
Gọi $A$ là biến cố: “Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có nhiều nhất một số giống nhau”.
TH1: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra không có số nào giống nhau:
+) An chọn ngẫu nhiên 3 số: Có $C_{10}^3$ cách.
+) Bình chọn ngẫu nhiên 3 số trong 7 số còn lại: Có $C_7^3$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $C_{10}^3\cdot C_7^3$ cách.
TH2: Trong hai bộ ba số của An và Bình chọn ra có đúng một số giống nhau:
+) Cả 2 bạn cùng chọn ra một số giống nhau: Có 10 cách.
+) Chọn 2 số còn lại sao cho không có số nào giống nhau: Có $C_9^2\cdot C_7^2$ cách.
Theo quy tắc nhân ta có $10\cdot C_9^2\cdot C_7^2$ cách.
Vậy ta có: $n(A)=C_{10}^3\cdot C_7^3+10\cdot C_9^2\cdot C_7^2$. Từ đó suy ra: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{49}{60}$.