Bài tự luận · Bài 7
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 7
(KNTT11) Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, kẻ $AH$ vuông góc với $BM$ tại $H$.
a) Chứng minh rằng $AH\perp (BCD)$.
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng $(BCD)$ và mặt phẳng $(ACD)$.
a) Chứng minh rằng $AH\perp (BCD)$.
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng $(BCD)$ và mặt phẳng $(ACD)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $CD\perp BM$, $CD\perp AM$, do đó $CD\perp (ABM)$, suy ra $CD\perp AH$, ta lại có $AH\perp BM$ nên $AH\perp (BCD)$.
b) Vì $AM\perp CD,BM\perp CD$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $BM$, mà $(AM,BM)= \widehat { AMB }$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ bằng $\widehat { AMB }$.
Ta có: $HM=\frac{1}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, tam giác $AHM$ vuông tại $H$ nên $\cos \widehat { AMB }=\frac{HM}{AM}=\frac{1}{3}$.