Bài tự luận · Bài 11
Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu, phương trình mặt cầu
Bài tự luận Phương trình mặt cầu · Bài 11
(CD12) Cho mặt cầu $ (S) $ có phương trình: $ x ^ { 2 } +(y+4) ^ { 2 } +(z+5) ^ { 2 } =49 $.
a) Xác định toạ độ tâm $ I $ và tính bán kính $ R $ của mặt cầu $ (S) $.
b) Điểm $ A(0;3;-5) $ có thuộc mặt cầu $ (S) $ hay không?
c) Điểm $ B(1;-4;-1) $ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $ (S) $?
d) Điểm $ C(7;3;-5) $ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $ (S) $?
e) Lập phương trình tham số của đường thẳng $ IC $.
g) Xác định toạ độ các giao điểm $ M,N $ của đường thẳng $ IC $ và mặt cầu.
a) Xác định toạ độ tâm $ I $ và tính bán kính $ R $ của mặt cầu $ (S) $.
b) Điểm $ A(0;3;-5) $ có thuộc mặt cầu $ (S) $ hay không?
c) Điểm $ B(1;-4;-1) $ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $ (S) $?
d) Điểm $ C(7;3;-5) $ nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu $ (S) $?
e) Lập phương trình tham số của đường thẳng $ IC $.
g) Xác định toạ độ các giao điểm $ M,N $ của đường thẳng $ IC $ và mặt cầu.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tâm $ I(0;-4;-5) $, bán kính $ R=7 $.
b) $ IA=7=R $ nên $ A $ thuộc mặt cầu.
c) $ IB=\sqrt[] { 17 } < R $ nên $ B $ nằm trong mặt cầu.
d) $ IC=\sqrt[] { 98 }>R $ nên $ C $ nằm ngoài mặt cầu.
e) Ta có: $ \overset\rightarrow { IC }=(7;7;0) $, chọn $ u=\frac { 1 } { 7 }\overset\rightarrow { IC }=(1;1;0) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ IC $. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng $ IC $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=-4+t \\ z=-5. \end{array} \right. $
g) Toạ độ giao điểm của đường thẳng $ IC $ và mặt cầu $ (S) $ tương ứng với tham số $ t $ thoả mãn:
$ t ^ { 2 } +(-4+t+4) ^ { 2 } +(-5+5) ^ { 2 } =49\Leftrightarrow t ^ { 2 } =\frac { 49 } { 2 }\Leftrightarrow t=\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ hoặc $ t=\frac { -7\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Vậy $ M\left ( { \frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-4+\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-5 } \right ),N\left ( { \frac { -7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-4-\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-5 } \right ) $.
b) $ IA=7=R $ nên $ A $ thuộc mặt cầu.
c) $ IB=\sqrt[] { 17 } < R $ nên $ B $ nằm trong mặt cầu.
d) $ IC=\sqrt[] { 98 }>R $ nên $ C $ nằm ngoài mặt cầu.
e) Ta có: $ \overset\rightarrow { IC }=(7;7;0) $, chọn $ u=\frac { 1 } { 7 }\overset\rightarrow { IC }=(1;1;0) $ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $ IC $. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng $ IC $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=t \\ y=-4+t \\ z=-5. \end{array} \right. $
g) Toạ độ giao điểm của đường thẳng $ IC $ và mặt cầu $ (S) $ tương ứng với tham số $ t $ thoả mãn:
$ t ^ { 2 } +(-4+t+4) ^ { 2 } +(-5+5) ^ { 2 } =49\Leftrightarrow t ^ { 2 } =\frac { 49 } { 2 }\Leftrightarrow t=\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 } $ hoặc $ t=\frac { -7\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Vậy $ M\left ( { \frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-4+\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-5 } \right ),N\left ( { \frac { -7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-4-\frac { 7\sqrt[] { 2 } } { 2 };-5 } \right ) $.