Bài tập nâng cao · Bài 201
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 201
Cho hàm số bậc bốn $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 8 } $ và đồ thị $ f'\left ( { x } \right ) $ (như hình vẽ bên dưới).
Xét hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ g\text{''}\left ( { x } \right )=2021\left[ f\text{''}\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )+\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \right]-f\text{''}\left ( { x } \right ) $ và $ g'\left ( { 0 } \right )=\frac { 2013 } { 8 } $. Tìm số nghiệm của phương trình $ g'\left ( { x } \right )=0 $?
Xét hàm số $ g\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ g\text{''}\left ( { x } \right )=2021\left[ f\text{''}\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )+\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \right]-f\text{''}\left ( { x } \right ) $ và $ g'\left ( { 0 } \right )=\frac { 2013 } { 8 } $. Tìm số nghiệm của phương trình $ g'\left ( { x } \right )=0 $?
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết, $ f'\left ( { x } \right ) $ là hàm đa thức bậc ba: $ f'\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d $ có $ f'\left ( { 0 } \right )=1 $ và đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $ \left ( { -1;3 } \right ) $, $ \left ( { 1;-1 } \right ) $. Từ đó, ta có hệ sau:
$ \left \{ \begin{array}{l} d=1 \\ -a+b-c+d=3 \\ a+b+c+d=-1 \\ 3a-2b+c=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=0 \\ c=-3 \\ d=1 \end{array} \right.{ \rm{ } }\Rightarrow { \rm{ } }f'\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x+1 $
$ \Rightarrow { \rm{ } }f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+C_{ 1 } $; $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 8 }\Leftrightarrow C_{ 1 } =\frac { 1 } { 8 }{ \rm{ } }\Rightarrow { \rm{ } }f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+\frac { 1 } { 8 } $.
$ g''\left ( { x } \right )=2021.\left[ f''\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )+\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \right]-f''\left ( { x } \right )=2021.\left[ f'\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right ) \right]'-f''\left ( { x } \right ) $
$ \Rightarrow { \rm{ } }g'\left ( { x } \right )=2021.f'\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )-f'\left ( { x } \right )+C_{ 2 } $
$ g'\left ( { 0 } \right )=\frac { 2013 } { 8 }\Leftrightarrow 2021.f'\left ( { 0 } \right ).f\left ( { 0 } \right )-f'\left ( { 0 } \right )+C_{ 2 } =\frac { 2013 } { 8 }\Leftrightarrow 2021.1.\frac { 1 } { 8 }-1+C_{ 2 } =\frac { 2013 } { 8 }\Leftrightarrow C_{ 2 } =0 $
$ \Rightarrow g'\left ( { x } \right )=2021.f'\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )-f'\left ( { x } \right )=\left[ 2021.f\left ( { x } \right )-1 \right].f'\left ( { x } \right ) $
$ g'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ f'\left ( { x } \right )=0{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } } \\ 2021.f\left ( { x } \right )-1=0{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ ) } } \right. $
+ Giải (1): $ f'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow x ^ { 3 } -3x+1=0\Leftrightarrow \left[ x\approx -1.87 \\ x\approx 0.34 \\ x\approx 1.53 \right. $.
+ Giải (2):
$ 2021.f\left ( { x } \right )-1=0\Leftrightarrow 2021.\left[ \frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+\frac { 1 } { 8 } \right]-1=0\Leftrightarrow \frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+\frac { 2023 } { 16168 }=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ x\approx -2.72 \\ x\approx -0.10 \\ x\approx 0.87 \\ x\approx 1.95 \right. $.
Vậy phương trình $ g'\left ( { x } \right )=0 $ có 7 nghiệm phân biệt.
$ \left \{ \begin{array}{l} d=1 \\ -a+b-c+d=3 \\ a+b+c+d=-1 \\ 3a-2b+c=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=0 \\ c=-3 \\ d=1 \end{array} \right.{ \rm{ } }\Rightarrow { \rm{ } }f'\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } -3x+1 $
$ \Rightarrow { \rm{ } }f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+C_{ 1 } $; $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 8 }\Leftrightarrow C_{ 1 } =\frac { 1 } { 8 }{ \rm{ } }\Rightarrow { \rm{ } }f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+\frac { 1 } { 8 } $.
$ g''\left ( { x } \right )=2021.\left[ f''\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )+\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \right]-f''\left ( { x } \right )=2021.\left[ f'\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right ) \right]'-f''\left ( { x } \right ) $
$ \Rightarrow { \rm{ } }g'\left ( { x } \right )=2021.f'\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )-f'\left ( { x } \right )+C_{ 2 } $
$ g'\left ( { 0 } \right )=\frac { 2013 } { 8 }\Leftrightarrow 2021.f'\left ( { 0 } \right ).f\left ( { 0 } \right )-f'\left ( { 0 } \right )+C_{ 2 } =\frac { 2013 } { 8 }\Leftrightarrow 2021.1.\frac { 1 } { 8 }-1+C_{ 2 } =\frac { 2013 } { 8 }\Leftrightarrow C_{ 2 } =0 $
$ \Rightarrow g'\left ( { x } \right )=2021.f'\left ( { x } \right ).f\left ( { x } \right )-f'\left ( { x } \right )=\left[ 2021.f\left ( { x } \right )-1 \right].f'\left ( { x } \right ) $
$ g'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow \left[ f'\left ( { x } \right )=0{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } } \\ 2021.f\left ( { x } \right )-1=0{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ ) } } \right. $
+ Giải (1): $ f'\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow x ^ { 3 } -3x+1=0\Leftrightarrow \left[ x\approx -1.87 \\ x\approx 0.34 \\ x\approx 1.53 \right. $.
+ Giải (2):
$ 2021.f\left ( { x } \right )-1=0\Leftrightarrow 2021.\left[ \frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+\frac { 1 } { 8 } \right]-1=0\Leftrightarrow \frac { 1 } { 4 }x ^ { 4 } -\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } +x+\frac { 2023 } { 16168 }=0 $
$ \Leftrightarrow \left[ x\approx -2.72 \\ x\approx -0.10 \\ x\approx 0.87 \\ x\approx 1.95 \right. $.
Vậy phương trình $ g'\left ( { x } \right )=0 $ có 7 nghiệm phân biệt.