Bài tập nâng cao · Bài 200
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 200
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1 $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=9 $
và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=9 $ $ \left ( { 1 } \right ) $
Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } }f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }. $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 3 } .{ \rm{ d } }x \end{array} \right. $$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 4 } } { 4 } \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \frac { 1 } { 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }.f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } $$ -\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 4 }-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-1 $$ \Rightarrow 18\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-18 $ $ \left ( { 2 } \right ) $
- Lại có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 9 } } { 9 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 9 } $$ \Rightarrow 81\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=9 $ $ \left ( { 3 } \right ) $
- Cộng vế với vế các đẳng thức $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $ và $ \left ( { 3 } \right ) $ ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } +18x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )+81x ^ { 8 } \right]{ \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \pi .\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } $, trục hoành $ Ox $, các đường thẳng $ x=0 $, $ x=1 $ khi quay quanh $ Ox $ bằng $ 0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } =0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-9x ^ { 4 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x } =-\frac { 9 } { 5 }x ^ { 5 } +C $.
Lại do $ f\left ( { 1 } \right )=1 $$ \Rightarrow C=\frac { 14 } { 5 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 9 } { 5 }x ^ { 5 } +\frac { 14 } { 5 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }= $$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { -\frac { 9 } { 5 }x ^ { 5 } +\frac { 14 } { 5 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 9 } { 5 }x ^ { 6 } +\frac { 14 } { 5 }x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { -\frac { 9 } { 35 }x ^ { 7 } +\frac { 7 } { 5 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 8 } { 7 } $.
Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } }f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }. $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 3 } .{ \rm{ d } }x \end{array} \right. $$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 4 } } { 4 } \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \frac { 1 } { 2 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }.f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } $$ -\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 4 }-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-1 $$ \Rightarrow 18\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-18 $ $ \left ( { 2 } \right ) $
- Lại có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 9 } } { 9 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 9 } $$ \Rightarrow 81\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=9 $ $ \left ( { 3 } \right ) $
- Cộng vế với vế các đẳng thức $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $ và $ \left ( { 3 } \right ) $ ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } +18x ^ { 4 } .f'\left ( { x } \right )+81x ^ { 8 } \right]{ \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \pi .\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } $, trục hoành $ Ox $, các đường thẳng $ x=0 $, $ x=1 $ khi quay quanh $ Ox $ bằng $ 0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )+9x ^ { 4 } =0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-9x ^ { 4 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x } =-\frac { 9 } { 5 }x ^ { 5 } +C $.
Lại do $ f\left ( { 1 } \right )=1 $$ \Rightarrow C=\frac { 14 } { 5 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 9 } { 5 }x ^ { 5 } +\frac { 14 } { 5 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }= $$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x\left ( { -\frac { 9 } { 5 }x ^ { 5 } +\frac { 14 } { 5 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 9 } { 5 }x ^ { 6 } +\frac { 14 } { 5 }x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { -\frac { 9 } { 35 }x ^ { 7 } +\frac { 7 } { 5 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 8 } { 7 } $.