Bài tập nâng cao · Bài 199
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 199
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(x)+xf(1-x^2)=2x+3$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Tính $\int_{-1}^{0}f(x)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
Tích phân 2 vế ta có:
$ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx+\int _{ -1 }^{ 0 } { xf\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )dx } }=\int _{ -1 }^{ 0 } { (2x+3)dx } $
$ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx-\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )d\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right ) } }=2 \\ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } }=2{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $
* Mặt khác ta có:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { (2x+3) }dx \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx=4 } \\ \Rightarrow \frac { 3 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx=4 } \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { 8 } { 3 } } $
Thay vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta có:$ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { 10 } { 3 } } $.
$ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx+\int _{ -1 }^{ 0 } { xf\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )dx } }=\int _{ -1 }^{ 0 } { (2x+3)dx } $
$ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx-\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )d\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right ) } }=2 \\ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } }=2{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $
* Mặt khác ta có:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { 1-x ^ { 2 } } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { (2x+3) }dx \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx=4 } \\ \Rightarrow \frac { 3 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx=4 } \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { 8 } { 3 } } $
Thay vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta có:$ \int _{ -1 }^{ 0 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { 10 } { 3 } } $.