Bài tập nâng cao · Bài 198
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 198
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right )=sinx.cosx,\,∀x\in \mathbb{R} $. Biết $ f\left ( { 0 } \right )=0 $, tính $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Do $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right )=sinx.cosx\Rightarrow f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )+f\left ( { 0 } \right )=0\Rightarrow f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0 $
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ) }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Do $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right )=sinx.cosx\Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x{ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 4 }\left | { cos2x } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { 1 } { 2 } $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x{ \rm{ d } }\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) }=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 2 }f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }=-\frac { 1 } { 4 } $.
Ta có $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ) }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Do $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right )=sinx.cosx\Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x{ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 4 }\left | { cos2x } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { 1 } { 2 } $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 4 } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x{ \rm{ d } }\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) }=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 2 }f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )-\frac { 1 } { 4 }=-\frac { 1 } { 4 } $.