Bài tập nâng cao · Bài 197
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 197
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ \frac { \pi } { 4 };\frac { \pi } { 2 } \right] $, biết rằng $ f'\left ( { x } \right )sinx-f\left ( { x } \right )cosx=-1 $, $ ∀x\in \left[ \frac { \pi } { 4 };\frac { \pi } { 2 } \right] $ và $ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=0 $. Tính $ I=\int _{ \frac { \pi } { 4 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
+ Ta có: $ f'\left ( { x } \right )sinx-f\left ( { x } \right )cosx=-1 $
$ \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right )sinx-f\left ( { x } \right )cosx } { sin ^ { 2 } x }=\frac { -1 } { sin ^ { 2 } x } $
$ \Leftrightarrow \left[ \frac { f\left ( { x } \right ) } { sinx } \right]'=\frac { -1 } { sin ^ { 2 } x } $
$ \Leftrightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { sinx }=cotx+C $.
+ Vì $ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=0 $ nên $ C=-1 $.
+ Suy ra $ f\left ( { x } \right )=cosx-sinx $.
+ Vậy $ I=\int _{ \frac { \pi } { 4 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x.\left ( { cosx-sinx } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { \pi } { 4 }\left ( { 2-\sqrt[] { 2 } } \right )-1 $.
$ \Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right )sinx-f\left ( { x } \right )cosx } { sin ^ { 2 } x }=\frac { -1 } { sin ^ { 2 } x } $
$ \Leftrightarrow \left[ \frac { f\left ( { x } \right ) } { sinx } \right]'=\frac { -1 } { sin ^ { 2 } x } $
$ \Leftrightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { sinx }=cotx+C $.
+ Vì $ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=0 $ nên $ C=-1 $.
+ Suy ra $ f\left ( { x } \right )=cosx-sinx $.
+ Vậy $ I=\int _{ \frac { \pi } { 4 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x.\left ( { cosx-sinx } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { \pi } { 4 }\left ( { 2-\sqrt[] { 2 } } \right )-1 $.