Bài tập nâng cao · Bài 196
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 196
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x-1 } \right )dx }=2 $ và $ f\left ( { 1 } \right )=4 $. Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết có $ A=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x-1 } \right )dx }=2 $ đặt $ t=x-1 $ thì $ A=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )dt }=2 $ hay $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=2 $
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x }{ \rm{ d } }f\left ( { x } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { x.f\left ( { x } \right )\left | { _{ 0 } ^{ 1 } } \right .-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { f\left ( { 1 } \right )-0-2 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4-0-2 } \right )=1 $
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }{ \rm{ d } }x ^ { 2 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x }{ \rm{ d } }f\left ( { x } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { x.f\left ( { x } \right )\left | { _{ 0 } ^{ 1 } } \right .-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { f\left ( { 1 } \right )-0-2 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4-0-2 } \right )=1 $