Bài tập nâng cao · Bài 195
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 195
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thoả mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ và $ f\left ( { 2x } \right )-xf\left ( { x ^ { 2 } } \right )=5x-2x ^ { 3 } -1 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Tính tích phân $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )dx }. $
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1 : Tự luận
Ta có : $ f\left ( { 2x } \right )-xf\left ( { x ^ { 2 } } \right )=5x-2x ^ { 3 } -1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Thay $ x=1 $ vào biểu thức$ \left ( { 1 } \right ) $ suy ra :$ f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 1 } \right )=2\Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=3 $.
Lấy tích phân từ $ 1 $ đến $ 2 $ cả hai vế của biểu thức $ \left ( { 1 } \right ) $, ta được :
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { 2x } \right ) }dx-\int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 5x-2x ^ { 3 } -1 } \right )dx } $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { 2x } \right ) }dx \\ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } \end{array} \right.\Rightarrow I_{ 1 } -I_{ 2 } =-1 $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { 2x } \right ) }dx $ bằng cách đổi biến, ta được: $ I_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } $ bằng cách đổi biến, ta được: $ I_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $
Suy ra:
$ I_{ 1 } -I_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx }-\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } } \right )=-1\Leftrightarrow \left ( { \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx }-\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } } \right )=2 \\ \Leftrightarrow \left ( { \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx-\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } } } \right )=2\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=2. $
Khi đó, $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { xd\left[ f\left ( { x } \right ) \right] }=xf\left ( { x } \right )\left | { _{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx=2f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 1 } \right )-2= } } \right .3. $
Cách 2 : Trắc nghiệm
Chọn hàm: Để ý vế phải của biểu thức đề bài cho thì hệ số chứa số mũ cao nhất là $ x ^ { 3 } $ nên để biểu thức có nghiệm thì $ f\left ( { x } \right ) $ phải là hàm bậc nhất. Chọn hàm bậc nhất dạng $ y=f\left ( { x } \right )=ax+b $.
Ta có : $ 2ax+b-ax ^ { 3 } -bx=5x-2x ^ { 3 } -1 $.
Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình :
$ \left \{ \begin{array}{l} -a=-2 \\ 2a-b=5 \\ b=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array} \right.\Rightarrow f\left ( { x } \right )=2x-1\Rightarrow I=\int _{ 1 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )=\int _{ 1 }^{ 2 } { 2x=3. } } $
Ta có : $ f\left ( { 2x } \right )-xf\left ( { x ^ { 2 } } \right )=5x-2x ^ { 3 } -1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Thay $ x=1 $ vào biểu thức$ \left ( { 1 } \right ) $ suy ra :$ f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 1 } \right )=2\Rightarrow f\left ( { 2 } \right )=3 $.
Lấy tích phân từ $ 1 $ đến $ 2 $ cả hai vế của biểu thức $ \left ( { 1 } \right ) $, ta được :
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { 2x } \right ) }dx-\int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }dx=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 5x-2x ^ { 3 } -1 } \right )dx } $. Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { 2x } \right ) }dx \\ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } \end{array} \right.\Rightarrow I_{ 1 } -I_{ 2 } =-1 $.
Tính $ I_{ 1 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { 2x } \right ) }dx $ bằng cách đổi biến, ta được: $ I_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ 1 }^{ 2 } { xf\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } $ bằng cách đổi biến, ta được: $ I_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } $
Suy ra:
$ I_{ 1 } -I_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx }-\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } } \right )=-1\Leftrightarrow \left ( { \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx }-\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } } \right )=2 \\ \Leftrightarrow \left ( { \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx-\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right )dx } } } \right )=2\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=2. $
Khi đó, $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { xd\left[ f\left ( { x } \right ) \right] }=xf\left ( { x } \right )\left | { _{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx=2f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { 1 } \right )-2= } } \right .3. $
Cách 2 : Trắc nghiệm
Chọn hàm: Để ý vế phải của biểu thức đề bài cho thì hệ số chứa số mũ cao nhất là $ x ^ { 3 } $ nên để biểu thức có nghiệm thì $ f\left ( { x } \right ) $ phải là hàm bậc nhất. Chọn hàm bậc nhất dạng $ y=f\left ( { x } \right )=ax+b $.
Ta có : $ 2ax+b-ax ^ { 3 } -bx=5x-2x ^ { 3 } -1 $.
Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình :
$ \left \{ \begin{array}{l} -a=-2 \\ 2a-b=5 \\ b=-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array} \right.\Rightarrow f\left ( { x } \right )=2x-1\Rightarrow I=\int _{ 1 }^{ 2 } { xf'\left ( { x } \right )=\int _{ 1 }^{ 2 } { 2x=3. } } $