Bài tập nâng cao · Bài 194
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 194
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục và có đạo hàm trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn
$ 5f\left ( { x } \right )-7f\left ( { 1-x } \right )=3\left ( { x ^ { 2 } -2x } \right ),\ ∀x\in \mathbb{R}. $ Biết rằng tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x.f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { a } { b } $ (với $ a,\ b $ là các số nguyên dương và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Tính $ T=3a-b. $
$ 5f\left ( { x } \right )-7f\left ( { 1-x } \right )=3\left ( { x ^ { 2 } -2x } \right ),\ ∀x\in \mathbb{R}. $ Biết rằng tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { x.f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { a } { b } $ (với $ a,\ b $ là các số nguyên dương và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Tính $ T=3a-b. $
Xem lời giải
Lời giải
Sử dụng tích phân từng phần ta có $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=f'(x)dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=f(x) \end{array} \right. $.
Khi đó $ I=\left | { xf(x) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=f(1)-\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $.
Chú ý thay $ x $ bởi $ 1-x $ vào giả thiết ta có $ 5f(1-x)-7f(x)=3\left[ (1-x) ^ { 2 } -2(1-x) \right]=3(x ^ { 2 } -1) $.
Kết hợp với giả thiết đề bài cho thu được hệ
$ \left \{ \begin{array}{l} 5f(1-x)-7f(x)=3(x ^ { 2 } -1) \\ 5f(x)-7f(1-x)=3(x ^ { 2 } -2x) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 35f(1-x)-49f(x)=21(x ^ { 2 } -1) \\ 25f(x)-35f(1-x)=15(x ^ { 2 } -2x) \end{array} \right. \\ \Rightarrow -24f(x)=36x ^ { 2 } -30x-21\Rightarrow f(x)=\frac { 36x ^ { 2 } -30x-21 } { 24 } $
Khi đó $ I=-\frac { 15 } { 24 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 36x ^ { 2 } -30x-21 } { 24 }dx }=\frac { 3 } { 8 }\Rightarrow a=3,b=8\Rightarrow 3a-b=1 $.
Vậy $ T=1 $.
Khi đó $ I=\left | { xf(x) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=f(1)-\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $.
Chú ý thay $ x $ bởi $ 1-x $ vào giả thiết ta có $ 5f(1-x)-7f(x)=3\left[ (1-x) ^ { 2 } -2(1-x) \right]=3(x ^ { 2 } -1) $.
Kết hợp với giả thiết đề bài cho thu được hệ
$ \left \{ \begin{array}{l} 5f(1-x)-7f(x)=3(x ^ { 2 } -1) \\ 5f(x)-7f(1-x)=3(x ^ { 2 } -2x) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 35f(1-x)-49f(x)=21(x ^ { 2 } -1) \\ 25f(x)-35f(1-x)=15(x ^ { 2 } -2x) \end{array} \right. \\ \Rightarrow -24f(x)=36x ^ { 2 } -30x-21\Rightarrow f(x)=\frac { 36x ^ { 2 } -30x-21 } { 24 } $
Khi đó $ I=-\frac { 15 } { 24 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 36x ^ { 2 } -30x-21 } { 24 }dx }=\frac { 3 } { 8 }\Rightarrow a=3,b=8\Rightarrow 3a-b=1 $.
Vậy $ T=1 $.