Bài tập nâng cao · Bài 193
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 193
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn điều kiện $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right )dx } { x+2 }=3 } $ và $ f\left ( { 2 } \right )-2f\left ( { 0 } \right )=4 $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2x } \right )dx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=\frac { 1 } { x+2 } \\ dv=f'\left ( { x } \right )dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=-\frac { 1 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right )dx } { x+2 } }=\left | { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x+2 } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }+\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { f\left ( { 2 } \right ) } { 4 }-\frac { f\left ( { 0 } \right ) } { 2 }+\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } }=1+\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } } $.
Suy ra $ K=\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } }=2\xrightarrow {\mathrm{ x=2t }}K=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2t } \right )d2t } { \left ( { 2t+2 } \right ) ^ { 2 } } }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2t } \right )dt } { 2\left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } } }=2 $. Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2t } \right )dt } { \left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } } }=4 $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right )dx } { x+2 } }=\left | { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x+2 } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }+\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { f\left ( { 2 } \right ) } { 4 }-\frac { f\left ( { 0 } \right ) } { 2 }+\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } }=1+\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } } $.
Suy ra $ K=\int _{ 0 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right )dx } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } }=2\xrightarrow {\mathrm{ x=2t }}K=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2t } \right )d2t } { \left ( { 2t+2 } \right ) ^ { 2 } } }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2t } \right )dt } { 2\left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } } }=2 $. Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { 2t } \right )dt } { \left ( { t+1 } \right ) ^ { 2 } } }=4 $.