Bài tập nâng cao · Bài 192
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 192
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $ và $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 1-x } \right )=\frac { x ^ { 2 } +2x+3 } { x+1 } $, $ ∀x\in \left[ 0;1 \right] $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Xem lời giải
Lời giải
Từ $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 1-x } \right )=\frac { x ^ { 2 } +2x+3 } { x+1 } $, lấy tích phân hai vế ta được $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } +2x+3 } { x+1 }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ t=1-x\to { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=0\to t=1 \\ x=1\to t=0 \end{array} \right. $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Do đó $ 2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } +2x+3 } { x+1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1+\frac { 2 } { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }+x+2ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 3 } { 2 }+2ln2 $.
Vậy $ I=\frac { 3 } { 4 }+ln2 $
Đặt $ t=1-x\to { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=0\to t=1 \\ x=1\to t=0 \end{array} \right. $.
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Do đó $ 2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } +2x+3 } { x+1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1+\frac { 2 } { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }+x+2ln\left | { x+1 } \right | } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 3 } { 2 }+2ln2 $.
Vậy $ I=\frac { 3 } { 4 }+ln2 $