Bài tập nâng cao · Bài 191
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 191
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { 1-x } \right )=x ^ { 2 } \left ( { 1-x } \right ) ^ { 2 } ;∀\,x\in \,\mathbb{R} $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }. $
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=1-x\Rightarrow dt=-dx. $
Đổi cận:
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=0$.
Khi đó $\int_0^1f(1-x)\,dx=\int_0^1f(x)\,dx$.
Suy ra $2\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1x^2(1-x)^2\,dx=\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac1{30}$.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 1 } { 60 }. $
Đổi cận:
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=0$.
Khi đó $\int_0^1f(1-x)\,dx=\int_0^1f(x)\,dx$.
Suy ra $2\int_0^1f(x)\,dx=\int_0^1x^2(1-x)^2\,dx=\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac1{30}$.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 1 } { 60 }. $