Bài tập nâng cao · Bài 190
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 190
Cho $ a,b,c $ là các số thực và $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +ax ^ { 2 } +bx+c $ thỏa mãn $ f'\left ( { t } \right )=f'\left ( { t+5 } \right )=2 $ với $ t $ là hằng số. Giá trị $ \int _{ t }^{ t+5 } { f' }\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } +2ax+b $. Vì $ f'\left ( { t } \right )=f'\left ( { t+5 } \right )=2 $ nên $ t $ và $ t+5 $ là hai nghiệm của phương trình $ f'\left ( { x } \right )-2=0\Leftrightarrow 3x ^ { 2 } +2ax+b-2=0 $.
Theo Viet ta có $ \left \{ \begin{array}{l} t+t+5=-\frac { 2a } { 3 } \\ t\left ( { t+5 } \right )=\frac { b-2 } { 3 } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 3 } { 2 }\left ( { 2t+5 } \right ) \\ b=3\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )+2 \end{array} \right. $.
Do đó
$ I=\int _{ t }^{ t+5 } { f' }\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=f\left ( { t+5 } \right )-f\left ( { t } \right )=\left[ \left ( { t+5 } \right ) ^ { 3 } -t ^ { 3 } \right]+a\left[ \left ( { t+5 } \right ) ^ { 2 } -t ^ { 2 } \right]+b\left[ \left ( { t+5 } \right )-t \right] =\left[ \left ( { t+5-t } \right ) ^ { 3 } +3t\left ( { t+5 } \right )\left ( { t+5-t } \right ) \right]+a.5.\left ( { 2t+5 } \right )+5b =125+15\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )-\frac { 15 } { 2 }\left ( { 2t+5 } \right ) ^ { 2 } +5\left[ 3\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )+2 \right] =135+30\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )-\frac { 15 } { 2 }\left ( { 4t ^ { 2 } +20t+25 } \right )=-\frac { 105 } { 2 } $.
Theo Viet ta có $ \left \{ \begin{array}{l} t+t+5=-\frac { 2a } { 3 } \\ t\left ( { t+5 } \right )=\frac { b-2 } { 3 } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 3 } { 2 }\left ( { 2t+5 } \right ) \\ b=3\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )+2 \end{array} \right. $.
Do đó
$ I=\int _{ t }^{ t+5 } { f' }\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=f\left ( { t+5 } \right )-f\left ( { t } \right )=\left[ \left ( { t+5 } \right ) ^ { 3 } -t ^ { 3 } \right]+a\left[ \left ( { t+5 } \right ) ^ { 2 } -t ^ { 2 } \right]+b\left[ \left ( { t+5 } \right )-t \right] =\left[ \left ( { t+5-t } \right ) ^ { 3 } +3t\left ( { t+5 } \right )\left ( { t+5-t } \right ) \right]+a.5.\left ( { 2t+5 } \right )+5b =125+15\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )-\frac { 15 } { 2 }\left ( { 2t+5 } \right ) ^ { 2 } +5\left[ 3\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )+2 \right] =135+30\left ( { t ^ { 2 } +5t } \right )-\frac { 15 } { 2 }\left ( { 4t ^ { 2 } +20t+25 } \right )=-\frac { 105 } { 2 } $.