Giả sử hàm số $f$ có đạo hàm đến cấp hai trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f'(2)=2$ và $f(2-x)+x^2f''(x)=2x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Tính $\int_0^2xf'(x)\,dx$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Cho $x=0$ suy ra $f(2)=0$. Đặt $A=\int_0^2xf'(x)\,dx$. Ta có $\int_0^2f(2-x)\,dx=\int_0^2f(x)\,dx=[xf(x)]_0^2-A=-A$. Đồng thời, tích phân từng phần cho $\int_0^2x^2f''(x)\,dx=[x^2f'(x)]_0^2-2A=8-2A$. Lấy tích phân giả thiết trên $[0,2]$ được $-A+(8-2A)=\int_0^22x\,dx=4$, nên $A=\frac43$.

Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 188