Bài tập nâng cao · Bài 187
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 187
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn các điều kiện sau: $ f\left ( { 0 } \right )=-2 $ và $ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )f'\left ( { x } \right )+xf\left ( { x } \right )=-x,∀x\in \mathbb{R}. $ Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { xf\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } $
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )f'\left ( { x } \right )+xf\left ( { x } \right )=-x\Leftrightarrow \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }.f'\left ( { x } \right )+\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }f\left ( { x } \right )=-\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } $
$ \Leftrightarrow \left[ \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }.f\left ( { x } \right ) \right]'=-\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } \right )' \Rightarrow \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }.f\left ( { x } \right )=-\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }+C $
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=-2 $ nên $ C=-1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-1-\frac { 1 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } $
Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \left ( { -x-\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } } \right )\,{ \rm{ d } }x= }-\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { x\,{ \rm{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { { \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } \right ) } $
$ \Leftrightarrow I=\left | { \left ( { -\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 3 } }=-\frac { 5 } { 2 } $
$ \Leftrightarrow \left[ \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }.f\left ( { x } \right ) \right]'=-\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } \right )' \Rightarrow \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }.f\left ( { x } \right )=-\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }+C $
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=-2 $ nên $ C=-1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-1-\frac { 1 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } $
Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \left ( { -x-\frac { x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } } \right )\,{ \rm{ d } }x= }-\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { x\,{ \rm{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { { \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } \right ) } $
$ \Leftrightarrow I=\left | { \left ( { -\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 3 } }=-\frac { 5 } { 2 } $