Bài tập nâng cao · Bài 186
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 186
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} x ^ { 2 } -3x\ \ { \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\ \ x\leq 8 \\ \frac { 40 } { x-7 }\ \ \ \ \,{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ i } }\ \ \ x>8 \end{array} \right. $. Tích phân $ I=\int _{ e ^ { 2 } }^{ e ^ { 4 } } { \frac { f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xlnx } }dx $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt: $ t=ln ^ { 2 } x\Rightarrow dt=2\frac { lnx } { x }dx $.
Đổi cận: $ x=e ^ { 2 } \Rightarrow t=4\ ;\ \ x=e ^ { 4 } \Rightarrow t=16 $.
Ta có: $ I=\int _{ e ^ { 2 } }^{ e ^ { 4 } } { \frac { f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xlnx } }dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ e ^ { 2 } }^{ e ^ { 4 } } { \frac { 2lnx.f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xln ^ { 2 } x } }dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 4 }^{ 16 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 4 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt+\int _{ 8 }^{ 16 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 4 }^{ 8 } { \frac { t ^ { 2 } -3t } { t } }dt+\int _{ 8 }^{ 16 } { \frac { 40 } { t\left ( { t-7 } \right ) } }dt } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 4 }^{ 8 } { \left ( { t-3 } \right ) }dt+\int _{ 8 }^{ 16 } { \left ( { \frac { 40 } { 7 }.\frac { 1 } { t-7 }-\frac { 40 } { 7 }.\frac { 1 } { t } } \right )dt } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { \frac { t ^ { 2 } } { 2 }-3t } \right ) } \right ._{ 4 } ^{ 8 }+\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { \frac { 40 } { 7 }.ln\left | { t-7 } \right |-\frac { 40 } { 7 }ln\left | { t } \right | } \right ) } \right ._{ 8 } ^{ 16 } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 24-12 } \right )+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 40 } { 7 }ln9-\frac { 40 } { 7 }ln2 } \right ) =6+\frac { 40 } { 7 }ln3-\frac { 20 } { 7 }ln2 $.
Đổi cận: $ x=e ^ { 2 } \Rightarrow t=4\ ;\ \ x=e ^ { 4 } \Rightarrow t=16 $.
Ta có: $ I=\int _{ e ^ { 2 } }^{ e ^ { 4 } } { \frac { f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xlnx } }dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ e ^ { 2 } }^{ e ^ { 4 } } { \frac { 2lnx.f\left ( { ln ^ { 2 } x } \right ) } { xln ^ { 2 } x } }dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 4 }^{ 16 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 4 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt+\int _{ 8 }^{ 16 } { \frac { f\left ( { t } \right ) } { t } }dt } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 4 }^{ 8 } { \frac { t ^ { 2 } -3t } { t } }dt+\int _{ 8 }^{ 16 } { \frac { 40 } { t\left ( { t-7 } \right ) } }dt } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \int _{ 4 }^{ 8 } { \left ( { t-3 } \right ) }dt+\int _{ 8 }^{ 16 } { \left ( { \frac { 40 } { 7 }.\frac { 1 } { t-7 }-\frac { 40 } { 7 }.\frac { 1 } { t } } \right )dt } } \right ) =\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { \frac { t ^ { 2 } } { 2 }-3t } \right ) } \right ._{ 4 } ^{ 8 }+\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { \frac { 40 } { 7 }.ln\left | { t-7 } \right |-\frac { 40 } { 7 }ln\left | { t } \right | } \right ) } \right ._{ 8 } ^{ 16 } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 24-12 } \right )+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 40 } { 7 }ln9-\frac { 40 } { 7 }ln2 } \right ) =6+\frac { 40 } { 7 }ln3-\frac { 20 } { 7 }ln2 $.