Bài tập nâng cao · Bài 185
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 185
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=0;f'\left ( { 1 } \right )=1 $ và $ 10f\left ( { x } \right )-5xf'\left ( { x } \right )+x ^ { 2 } f''\left ( { x } \right )=0\, $với mọi $ x\in \left[ 0;1 \right] $. Khi đó tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } $bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ 10f\left ( { x } \right )-5xf'\left ( { x } \right )+x ^ { 2 } f''\left ( { x } \right )=0\, $ với mọi $ x\in \left[ 0;1 \right] $.
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { 10f\left ( { x } \right )dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { 5xf'\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f''\left ( { x } \right )dx }=0 $
Đặt $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } $, theo phương pháp tích phân từng phần, ta được:
$ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=xf\left ( { x } \right )|_{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f }\left ( { x } \right )dx=-I \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f''\left ( { x } \right )dx }=x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )|_{ 0 } ^{ 1 }-2\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=1-2\left ( { -I } \right )=1+2I \end{array} \right. \\ \Rightarrow 10I-5\left ( { -I } \right )+1+2I=0\Leftrightarrow I=-\frac { 1 } { 17 } $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 17 } $.
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { 10f\left ( { x } \right )dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { 5xf'\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f''\left ( { x } \right )dx }=0 $
Đặt $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } $, theo phương pháp tích phân từng phần, ta được:
$ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=xf\left ( { x } \right )|_{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f }\left ( { x } \right )dx=-I \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f''\left ( { x } \right )dx }=x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )|_{ 0 } ^{ 1 }-2\int _{ 0 }^{ 1 } { xf'\left ( { x } \right )dx }=1-2\left ( { -I } \right )=1+2I \end{array} \right. \\ \Rightarrow 10I-5\left ( { -I } \right )+1+2I=0\Leftrightarrow I=-\frac { 1 } { 17 } $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 17 } $.