Bài tập nâng cao · Bài 184
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 184
Cho hai hàm $ f\left ( { x } \right ) $ và $ g\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \left[ 1;2021 \right], $ thỏa mãn $ f\left ( { 2021 } \right )=g\left ( { 2021 } \right )=0 $, $ \frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }g\left ( { x } \right )+2020x=\left ( { x+1 } \right )f'\left ( { x } \right ) $ và $ \frac { x ^ { 3 } } { x+1 }g'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=2021x ^ { 2 } $ với mọi $ x\in \left[ 1;2021 \right] $. Tích phân $ \int _{ 1 }^{ 2021 } { \left[ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \frac { x } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }g\left ( { x } \right )+2020x=\left ( { x+1 } \right )f'\left ( { x } \right )\Rightarrow \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f'\left ( { x } \right )=-2020 $ (1).
Mặt khác $ \frac { x ^ { 3 } } { x+1 }g'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=2021x ^ { 2 } \Rightarrow \frac { x } { x+1 }g'\left ( { x } \right )+\frac { 1 } { x ^ { 2 } }f\left ( { x } \right )=2021 $ (2).
Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được $ \left[ \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }g\left ( { x } \right )+\frac { x } { x+1 }g'\left ( { x } \right ) \right]-\left[ \frac { x+1 } { x }f'\left ( { x } \right )-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }f\left ( { x } \right ) \right]=1 $
$ \Leftrightarrow \left[ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right ) \right]'=1 $ (*).
Lấy nguyên hàm hai vế (*), ta được $ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right )=x+C $
Vì $ f\left ( { 2021 } \right )=g\left ( { 2021 } \right )=0 $ nên $ 0=2021+C\Leftrightarrow C=-2021. $
Suy ra $ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right )=x-2021. $
Vậy $ \int _{ 1 }^{ 2021 } { \left[ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2021 } { \left ( { x-2021 } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } -2021x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2021 } =-\frac { 1 } { 2 }.2021 ^ { 2 } +2021-\frac { 1 } { 2 }. $
Mặt khác $ \frac { x ^ { 3 } } { x+1 }g'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=2021x ^ { 2 } \Rightarrow \frac { x } { x+1 }g'\left ( { x } \right )+\frac { 1 } { x ^ { 2 } }f\left ( { x } \right )=2021 $ (2).
Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được $ \left[ \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }g\left ( { x } \right )+\frac { x } { x+1 }g'\left ( { x } \right ) \right]-\left[ \frac { x+1 } { x }f'\left ( { x } \right )-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }f\left ( { x } \right ) \right]=1 $
$ \Leftrightarrow \left[ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right ) \right]'=1 $ (*).
Lấy nguyên hàm hai vế (*), ta được $ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right )=x+C $
Vì $ f\left ( { 2021 } \right )=g\left ( { 2021 } \right )=0 $ nên $ 0=2021+C\Leftrightarrow C=-2021. $
Suy ra $ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right )=x-2021. $
Vậy $ \int _{ 1 }^{ 2021 } { \left[ \frac { x } { x+1 }g\left ( { x } \right )-\frac { x+1 } { x }f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 2021 } { \left ( { x-2021 } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } -2021x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2021 } =-\frac { 1 } { 2 }.2021 ^ { 2 } +2021-\frac { 1 } { 2 }. $