Bài tập nâng cao · Bài 183
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 183
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;3 \right] $thỏa mãn $ f\left ( { 3 } \right )=14 $, $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx }=\frac { 2187 } { 20 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 3 } { xf\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 531 } { 20 } $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f\left ( { x } \right )-1 \right] }{ \rm{ } }dx $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ 0 }^{ 3 } { xf\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 531 } { 20 } $
$ \Leftrightarrow \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f\left ( { x } \right )\left | { ^ { 3 } \\ _{ 0 } } \right .-\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 531 } { 20 }\Leftrightarrow 63-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 531 } { 20 }\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 729 } { 10 } $
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } dx }=\frac { 243 } { 5 } $
Tìm k sao cho $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-kx ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }dx=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx }-2k\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ) }dx+k ^ { 2 } \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } dx }=0\Leftrightarrow \frac { 2187 } { 20 }-2k.\frac { 729 } { 10 }+k ^ { 2 } .\frac { 243 } { 5 }=0 \\ \Leftrightarrow 972k ^ { 2 } -2916k+2187=0\Leftrightarrow k=\frac { 3 } { 2 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }dx=0\Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 2 }+C $
Ta có $ f\left ( { 3 } \right )=14\Rightarrow C=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 2 }+\frac { 1 } { 2 } $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f\left ( { x } \right )-1 \right] }{ \rm{ } }dx=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }-1 } \right ) }{ \rm{ } }dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { x ^ { 3 } -1 } \right ) }dx=\frac { 69 } { 8 } $
$ \Leftrightarrow \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f\left ( { x } \right )\left | { ^ { 3 } \\ _{ 0 } } \right .-\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 531 } { 20 }\Leftrightarrow 63-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 531 } { 20 }\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ) }dx=\frac { 729 } { 10 } $
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } dx }=\frac { 243 } { 5 } $
Tìm k sao cho $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-kx ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }dx=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx }-2k\int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ) }dx+k ^ { 2 } \int _{ 0 }^{ 3 } { x ^ { 4 } dx }=0\Leftrightarrow \frac { 2187 } { 20 }-2k.\frac { 729 } { 10 }+k ^ { 2 } .\frac { 243 } { 5 }=0 \\ \Leftrightarrow 972k ^ { 2 } -2916k+2187=0\Leftrightarrow k=\frac { 3 } { 2 } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } \right] ^ { 2 } }dx=0\Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 2 }+C $
Ta có $ f\left ( { 3 } \right )=14\Rightarrow C=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 2 }+\frac { 1 } { 2 } $
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f\left ( { x } \right )-1 \right] }{ \rm{ } }dx=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }-1 } \right ) }{ \rm{ } }dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { x ^ { 3 } -1 } \right ) }dx=\frac { 69 } { 8 } $