Bài tập nâng cao · Bài 182
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 182
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 1;3 \right] $, biết $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ và $ f\left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right )+x-4=\left ( { x-2 } \right )f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) $ với $ ∀x\in \left[ 1;3 \right] $. Biết $ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { a } { b }+2\sqrt[] { c } $ (với $ a,b,c $ là các số nguyên dương, $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Khi đó, tổng $ a+b+c $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ f\left ( { x } \right ).f'\left ( { x } \right )+x-4=\left ( { x-2 } \right )f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) $
$ \Rightarrow \int { f\left ( { x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x+\int { \left ( { x-4 } \right ){ \rm{ d } }x=\int { \left[ \left ( { x-2 } \right )f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } } } $
$ \Rightarrow \frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-4x=\left ( { x-2 } \right )f\left ( { x } \right )+C $.
Theo bài, $ f\left ( { 1 } \right )=1\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }-4=-1+C\Leftrightarrow C=-2 $.
Khi đó, $ \frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-4x=\left ( { x-2 } \right )f\left ( { x } \right )-2\Leftrightarrow \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { x-2 } \right ) \right] ^ { 2 } =4x\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=2\sqrt[] { x }+x-2 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 2\sqrt[] { x }+x-2 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \left ( { \frac { 4 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-2x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 3 }=-\frac { 4 } { 3 }+4\sqrt[] { 3 } $.
Do đó, $ a=4,\,\,b=3,\,\,c=12 $.
Vậy $ a+b+c=4+3+12=19 $.
$ \Rightarrow \int { f\left ( { x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x+\int { \left ( { x-4 } \right ){ \rm{ d } }x=\int { \left[ \left ( { x-2 } \right )f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } } } $
$ \Rightarrow \frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-4x=\left ( { x-2 } \right )f\left ( { x } \right )+C $.
Theo bài, $ f\left ( { 1 } \right )=1\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }-4=-1+C\Leftrightarrow C=-2 $.
Khi đó, $ \frac { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } { 2 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-4x=\left ( { x-2 } \right )f\left ( { x } \right )-2\Leftrightarrow \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { x-2 } \right ) \right] ^ { 2 } =4x\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=2\sqrt[] { x }+x-2 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 2\sqrt[] { x }+x-2 } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \left ( { \frac { 4 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 }-2x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 3 }=-\frac { 4 } { 3 }+4\sqrt[] { 3 } $.
Do đó, $ a=4,\,\,b=3,\,\,c=12 $.
Vậy $ a+b+c=4+3+12=19 $.