Bài tập nâng cao · Bài 181
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 181
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right )=sinx.cosx $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ và $ f\left ( { 0 } \right )=0 $. Giá trị của tích phân $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x.f'\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Thay $ x=\frac { \pi } { 2 } $ vào đẳng thức $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right )=sinx.cosx $$ \Rightarrow f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )+f\left ( { 0 } \right )=0\Leftrightarrow f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0 $.
Xét $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x.f'\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ dv=f'\left ( { x } \right )dx \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} du=dx\,\,\, \\ v=f\left ( { x } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right. $
$ \Rightarrow I=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx $$ \left ( { 1 } \right ) $
Lại có: $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ) }\,dx=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sinx.cosx }\,dx $
$ \Leftrightarrow 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x }\,dx $$ \Leftrightarrow 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=\frac { 1 } { 4 } $.
Vậy $ I=-\frac { 1 } { 4 } $.
Xét $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { x.f'\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ dv=f'\left ( { x } \right )dx \\ \end{array} \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} du=dx\,\,\, \\ v=f\left ( { x } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right. $
$ \Rightarrow I=\left | { x.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx $$ \left ( { 1 } \right ) $
Lại có: $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { \frac { \pi } { 2 }-x } \right ) }\,dx=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sinx.cosx }\,dx $
$ \Leftrightarrow 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x }\,dx $$ \Leftrightarrow 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { x } \right ) }\,dx=\frac { 1 } { 4 } $.
Vậy $ I=-\frac { 1 } { 4 } $.