Bài tập nâng cao · Bài 180
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 180
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right \} $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=0,f\left ( { x } \right )\neq \frac { 1 } { x } $ và $ x ^ { 2 } f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-\left ( { 2x+1 } \right )f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-1\,∀x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0 \end{array} \right \} $. Tính $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx } $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ x ^ { 2 } f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-\left ( { 2x+1 } \right )f\left ( { x } \right )=xf'\left ( { x } \right )-1\, $
$ \Leftrightarrow \left[ xf\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } -2xf\left ( { x } \right )+1=f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] ^ { 2 } =f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right )=\left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right]' $, với $ f\left ( { x } \right )\neq \frac { 1 } { x } $
$ \Rightarrow \frac { \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right]' } { \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] ^ { 2 } }=1 \Rightarrow \int { dx }=\int { \frac { d\left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] } { \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] ^ { 2 } } }=-\frac { 1 } { xf\left ( { x } \right )-1 }+C $
$ \Rightarrow x=\frac { 1 } { 1-xf\left ( { x } \right ) }+C $, với $ f\left ( { 1 } \right )=0,f\left ( { x } \right )\neq \frac { 1 } { x } $, suy ra $ C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }. $
Khi đó $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )dx }=\left | { \left ( { lnx+\frac { 1 } { x } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=ln2-\frac { 1 } { 2 }. $
$ \Leftrightarrow \left[ xf\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } -2xf\left ( { x } \right )+1=f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] ^ { 2 } =f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right )=\left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right]' $, với $ f\left ( { x } \right )\neq \frac { 1 } { x } $
$ \Rightarrow \frac { \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right]' } { \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] ^ { 2 } }=1 \Rightarrow \int { dx }=\int { \frac { d\left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] } { \left[ xf\left ( { x } \right )-1 \right] ^ { 2 } } }=-\frac { 1 } { xf\left ( { x } \right )-1 }+C $
$ \Rightarrow x=\frac { 1 } { 1-xf\left ( { x } \right ) }+C $, với $ f\left ( { 1 } \right )=0,f\left ( { x } \right )\neq \frac { 1 } { x } $, suy ra $ C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } }. $
Khi đó $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { \frac { 1 } { x }-\frac { 1 } { x ^ { 2 } } } \right )dx }=\left | { \left ( { lnx+\frac { 1 } { x } } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }=ln2-\frac { 1 } { 2 }. $