Bài tập nâng cao · Bài 179
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 179
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $ và thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 5 } $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 9 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 37 } { 180 } $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ v'=x ^ { 3 } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} u'=f'\left ( { x } \right ) \\ v=\frac { x ^ { 4 } } { 4 } \end{array} \right. $, suy ra:
$ \frac { 37 } { 180 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Leftrightarrow \frac { 37 } { 180 }=\frac { 1 } { 4 }f\left ( { 1 } \right )-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 2 } { 9 } $.
Mặt khác ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { 4x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { 4 } { 9 }x ^ { 9 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 4 } { 9 } $.
Suy ra: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { 4x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 9 }-\frac { 8 } { 9 }+\frac { 4 } { 9 }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )+2x ^ { 4 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-2x ^ { 4 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 2 } { 5 }x ^ { 5 } +C $.
Mặt khác $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 5 } $$ \Leftrightarrow \frac { 3 } { 5 }=-\frac { 2 } { 5 }+C\Leftrightarrow C=1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 2 } { 5 }x ^ { 5 } +1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { 5 }x ^ { 5 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 14 } { 15 } $.
$ \frac { 37 } { 180 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Leftrightarrow \frac { 37 } { 180 }=\frac { 1 } { 4 }f\left ( { 1 } \right )-\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 2 } { 9 } $.
Mặt khác ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { 4x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { 4 } { 9 }x ^ { 9 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 4 } { 9 } $.
Suy ra: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { 4x ^ { 8 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { 9 }-\frac { 8 } { 9 }+\frac { 4 } { 9 }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )+2x ^ { 4 } \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-2x ^ { 4 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 2 } { 5 }x ^ { 5 } +C $.
Mặt khác $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 5 } $$ \Leftrightarrow \frac { 3 } { 5 }=-\frac { 2 } { 5 }+C\Leftrightarrow C=1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 2 } { 5 }x ^ { 5 } +1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { 5 }x ^ { 5 } +1 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 14 } { 15 } $.