Bài tập nâng cao · Bài 178
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 178
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục và dương trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $, thỏa mãn $ 3xf\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )+2f ^ { 2 } \left ( { x } \right ),∀x>0 $ và $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 1 } { 2 } $. Giá trị của tích phân $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }dx } $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ 3xf\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right )+2f ^ { 2 } \left ( { x } \right ),∀x>0 $
$ \Leftrightarrow 3x ^ { 2 } f\left ( { x } \right )-x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )=2xf ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow \frac { 3x ^ { 2 } f\left ( { x } \right )-x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=2x\Rightarrow \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { f\left ( { x } \right ) } } \right )'=2x\Rightarrow \frac { x ^ { 3 } } { f\left ( { x } \right ) }=x ^ { 2 } +C $.
Thay $ x=1 $ ta được $ \frac { 1 } { f\left ( { 1 } \right ) }=1+C\Leftrightarrow 2=1+C\Leftrightarrow C=1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } +1 }\Rightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\frac { x } { x ^ { 2 } +1 } $.
Khi đó $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x } { x ^ { 2 } +1 }dx } $. Đặt $ t=x ^ { 2 } +1\Rightarrow dt=2x{ \rm{ d } }x\Leftrightarrow xdx=\frac { 1 } { 2 }dt $.
Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=1\Rightarrow t=2 \\ x=2\Rightarrow t=5 \end{array} \right.\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 2 }^{ 5 } { \frac { 1 } { t }dt }=\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { ln\left | { t } \right | } \right ) } \right ._{ 2 } ^{ 5 }=\frac { 1 } { 2 }.ln\frac { 5 } { 2 } $.
$ \Leftrightarrow 3x ^ { 2 } f\left ( { x } \right )-x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )=2xf ^ { 2 } \left ( { x } \right ) $
$ \Leftrightarrow \frac { 3x ^ { 2 } f\left ( { x } \right )-x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ) } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) }=2x\Rightarrow \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { f\left ( { x } \right ) } } \right )'=2x\Rightarrow \frac { x ^ { 3 } } { f\left ( { x } \right ) }=x ^ { 2 } +C $.
Thay $ x=1 $ ta được $ \frac { 1 } { f\left ( { 1 } \right ) }=1+C\Leftrightarrow 2=1+C\Leftrightarrow C=1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { x ^ { 2 } +1 }\Rightarrow \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }=\frac { x } { x ^ { 2 } +1 } $.
Khi đó $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }dx }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { x } { x ^ { 2 } +1 }dx } $. Đặt $ t=x ^ { 2 } +1\Rightarrow dt=2x{ \rm{ d } }x\Leftrightarrow xdx=\frac { 1 } { 2 }dt $.
Đổi cận $ \left \{ \begin{array}{l} x=1\Rightarrow t=2 \\ x=2\Rightarrow t=5 \end{array} \right.\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } }dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 2 }^{ 5 } { \frac { 1 } { t }dt }=\frac { 1 } { 2 }\left | { \left ( { ln\left | { t } \right | } \right ) } \right ._{ 2 } ^{ 5 }=\frac { 1 } { 2 }.ln\frac { 5 } { 2 } $.