Bài tập nâng cao · Bài 177
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 177
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x.f'\left ( { 2x-4 } \right )dx }=8;\,\,\,f\left ( { 2 } \right )=2 $. Tính $ I=\int _{ -2 }^{ 1 } { f\left ( { 2x } \right )dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ \int _{ 0 }^{ 3 } { x.f'\left ( { 2x-4 } \right )dx }=8\,\,\,\,\,\left ( { * } \right ) $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=f'\left ( { 2x-4 } \right )dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 2x-4 } \right ) \end{array} \right. $
$ \left ( { * } \right )\Leftrightarrow \left | { \frac { 1 } { 2 }xf\left ( { 2x-4 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 2x-4 } \right )dx }=8 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac { 3 } { 2 }f\left ( { 2 } \right )-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 2x-4 } \right )dx }=8 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 2x-4 } \right )dx=-10 }\,. $
Đặt $ 2t=2x-4\,\,\,\Rightarrow dt=dx $
$ x $ $ 0 $ $ 3 $
$ t $ $ -2 $ $ 1 $
Suy ra: $ \int _{ -2 }^{ 1 } { f\left ( { 2t } \right )dt }=-10 $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=f'\left ( { 2x-4 } \right )dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=dx \\ v=\frac { 1 } { 2 }f\left ( { 2x-4 } \right ) \end{array} \right. $
$ \left ( { * } \right )\Leftrightarrow \left | { \frac { 1 } { 2 }xf\left ( { 2x-4 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 2x-4 } \right )dx }=8 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \frac { 3 } { 2 }f\left ( { 2 } \right )-\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 2x-4 } \right )dx }=8 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { 2x-4 } \right )dx=-10 }\,. $
Đặt $ 2t=2x-4\,\,\,\Rightarrow dt=dx $
$ x $ $ 0 $ $ 3 $
$ t $ $ -2 $ $ 1 $
Suy ra: $ \int _{ -2 }^{ 1 } { f\left ( { 2t } \right )dt }=-10 $.