Bài tập nâng cao · Bài 176
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 176
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int _{ 0 }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=5 } $, $ \int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=10 $. Tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cosx\,f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x }=10 $
Đặt $ 2x=t\Rightarrow 2{ \rm{ d } }{ \rm{ } }x={ \rm{ d } }{ \rm{ } }{ \rm{ t } } $$ \Rightarrow \int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 2x } \right )\,{ \rm{ d } }{ \rm{ } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t }=10 $$ \Rightarrow \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ) }\,{ \rm{ d } }t=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x=20 $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=25 $.
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cosx\,f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ sinx=t $$ \Rightarrow cosx\,{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }{ \rm{ } }t $$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t } =\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =25 $.
Đặt $ 2x=t\Rightarrow 2{ \rm{ d } }{ \rm{ } }x={ \rm{ d } }{ \rm{ } }{ \rm{ t } } $$ \Rightarrow \int _{ \frac { 1 } { 4 } }^{ \frac { 1 } { 2 } } { f\left ( { 2x } \right )\,{ \rm{ d } }{ \rm{ } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t }=10 $$ \Rightarrow \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ) }\,{ \rm{ d } }t=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }\,{ \rm{ d } }x=20 $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=25 $.
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cosx\,f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ sinx=t $$ \Rightarrow cosx\,{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }{ \rm{ } }t $$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right )\,{ \rm{ d } }t } =\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =25 $.