Bài tập nâng cao · Bài 175
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 175
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục và có đạo hàm trên $ \left[ -2;2 \right] $ thoả mãn $ \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )\left ( { x+2 } \right ) \right].{ \rm{ d } }x }=-\frac { 64 } { 3 } $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ -2 }^{ 2 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } .{ \rm{ d } }x }=\frac { 64 } { 3 } $.
Suy ra $ \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )\left ( { x+2 } \right ) \right].{ \rm{ d } }x }+\int _{ -2 }^{ 2 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } .{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )\left ( { x+2 } \right )+\left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } \right].{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { x+2 } \right ) \right] ^ { 2 } .{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-\left ( { x+2 } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=\left ( { x+2 } \right ) $.
Do đó $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x+2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\left | { ln\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }ln2+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Xét $ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x=tant,t\in { - } $.
Đổi cận $ \left | { x } \right ._{ 0 } ^{ 1 }\Rightarrow \left | { t } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } } $.
Ta có $ K=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 2 } { tan ^ { 2 } t+1 }\left ( { tan ^ { 2 } t+1 } \right ).{ \rm{ d } }t }=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { { \rm{ d } }t }=2\left | { t } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }=\frac { \pi } { 2 } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }ln2+\frac { \pi } { 2 }=\frac { \pi +ln2 } { 2 } $.
Suy ra $ \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )\left ( { x+2 } \right ) \right].{ \rm{ d } }x }+\int _{ -2 }^{ 2 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } .{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )\left ( { x+2 } \right )+\left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } \right].{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ -2 }^{ 2 } { \left[ f\left ( { x } \right )-\left ( { x+2 } \right ) \right] ^ { 2 } .{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-\left ( { x+2 } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=\left ( { x+2 } \right ) $.
Do đó $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x+2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }\left | { ln\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }ln2+\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Xét $ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2 } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x=tant,t\in { - } $.
Đổi cận $ \left | { x } \right ._{ 0 } ^{ 1 }\Rightarrow \left | { t } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } } $.
Ta có $ K=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \frac { 2 } { tan ^ { 2 } t+1 }\left ( { tan ^ { 2 } t+1 } \right ).{ \rm{ d } }t }=2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { { \rm{ d } }t }=2\left | { t } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }=\frac { \pi } { 2 } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x ^ { 2 } +1 }.{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }ln2+\frac { \pi } { 2 }=\frac { \pi +ln2 } { 2 } $.